2004-浙江理-02 单-任意角的三角函数定义

本题导读

本题考查任意角的三角函数定义，以及弧长公式与旋转角。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)） 点 $P$ 从 $(1,0)$ 出发，沿单位圆 $x^2+y^2=1$ 逆时针方向运动 $\frac{2\pi }{3}$ 弧长到达 $Q$ 点，则 $Q$ 的坐标为 ()

A. $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$　　B. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$　　C. $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$　　D. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 转动角计算：在半径为 1 的单位圆中，弧长等于旋转角弧度值的绝对值。逆时针运动对应正角，故旋转角 $\theta =\frac{2\pi }{3}$。
2. 坐标映射：依据任意角三角函数的几何定义，单位圆上任意一点的坐标可表示为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$。
3. 求值：代入特殊角三角函数值完成求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定旋转角的弧度值 点 $P$ 从初始位置 $(1,0)$ 出发，沿半径 $R=1$ 的单位圆运动。 根据弧长公式 $s=|\theta |\cdot R$，已知运动弧长 $s=\frac{2\pi }{3}$， 因为运动方向为逆时针方向（规定为正方向），所以点 $Q$ 对应的终边角为： $\theta =\frac{2\pi }{3}$

• 第二步：利用单位圆坐标定义列式 根据平面直角坐标系中任意角三角函数的几何定义，以原点为圆心的单位圆上任意一点，其横坐标等于该角余弦值，纵坐标等于该角正弦值。 因此，点 $Q$ 的坐标可表示为： $Q\left(\cos \frac{2\pi }{3},\sin \frac{2\pi }{3}\right)$

• 第三步：利用诱导公式计算特殊角的值 利用三角函数诱导公式将第二象限角 $\frac{2\pi }{3}$ 化为第一象限锐角： $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

  代入得点 $Q$ 的精确坐标为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位圆上点的坐标表示为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$、第二象限三角函数符号特征（余弦为负，正弦为正）。
2. 核心方法：几何定义坐标化法。
3. 避坑指南：
   • 不要记反横纵坐标对应的三角函数名。记住横坐标是 $x=\cos \theta$，纵坐标是 $y=\sin \theta$。若错记成 $(\sin \theta ,\cos \theta )$ 会误选为 D 选项。
   • 注意运动方向对应的正负号。逆时针运动角为正，顺时针运动角为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考三角函数开篇基础概念考查选择题。
2. 结论推广: 一般地，若一个点从 $(R,0)$ 出发，沿半径为 $R$ 的圆周逆时针旋转了 $\alpha$ 弧度，则该点移动后的三维/二维坐标公式恒为： $(R\cos \alpha ,R\sin \alpha )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值