2004-江苏卷-18 解-正方体的几何性质

本题导读

本题考查正方体的几何性质。核心在于空间直角坐标系法、几何综合推导法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 在棱长为 4 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $O$ 是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心，点 $P$ 在棱 $C{C}_1$ 上，且 $C{C}_1=4CP$.

(1) 求直线 $A_{1}P$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2) 设 $O$ 点在平面 $D_{1}AP$ 上的射影是 $H$，求证： $D_{1}H\perp AP$；

(3) 求点 $P$ 到平面 $AB{D}_1$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（建立空间直角坐标系）：以点 $D$ 为原点， $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。由此写出正方体各关键顶点以及点 $P$、点 $O$ 的精确坐标。
2. 第二步逻辑（第(1)问求解）：平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的法向量平行于 $x$ 轴，可取 $\vec{n}=(1,0,0)$。求出直线方向向量 $\overrightarrow{AP}$，利用公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec{n}|}$ 算出线面角的正弦值，再写成反三角函数形式。
3. 第三步逻辑（第(2)问证明）：利用射影性质。因为 $O$ 在平面 $D_{1}AP$ 上的射影是 $H$，所以 $OH\perp \text{平面 }{D}_{1}AP⟹OH\perp AP$。如果能通过坐标证明 $\overrightarrow{O{D}_1}\cdot \overrightarrow{AP}=0⟹O{D}_1\perp AP$，则根据线面垂直判定定理， $AP\perp \text{平面 }O{D}_{1}H⟹AP\perp D_{1}H$ 获证。
4. 第四步逻辑（第(3)问求解）：求出平面 $AB{D}_1$ 的标准法向量 $\vec{m}$。点 $P$ 到平面 $AB{D}_1$ 的距离 $d$ 等于向量 $\overrightarrow{AP}$（或平面上任意点到 $P$ 的向量）在法向量 $\vec{m}$ 方向上的投影绝对值，即 $d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{m}|}{|\vec{m}|}$。

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✅【答案】

Success

(1) $\arcsin \frac{4\sqrt{33}}{33}$

(2) 证明见解析

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以点 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 由于正方体棱长为 4，各顶点的坐标为： $D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0)$ $D_1(0,0,4),A_1(4,0,4),B_1(4,4,4),C_1(0,4,4)$

因为 $O$ 是上底面正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的中心，由中点公式得： $O(2,2,4)\text{（式1）}$ 因为点 $P$ 在棱 $C{C}_1$ 上，且 $C{C}_1=4CP⟹CP=\frac{1}{4}\times 4=1$。 点 $P$ 的纵坐标为 4，横坐标为 0，竖坐标为 1，故其坐标为： $P(0,4,1)\text{（式2）}$

(1) 求直线 $AP$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 所成的角 $\theta$ 的大小 首先写出直线 $AP$ 的方向向量： $\overrightarrow{AP}=P-A=(0,4,1)-(4,0,0)=(-4,4,1)\text{（式3）}$ 其模长为： $|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{(-4{)}^2+4^2+1^2}=\sqrt{16+16+1}=\sqrt{33}\text{（式4）}$

因为平面 $BC{C}_1{B}_1$ 垂直于 $x$ 轴，故该平面的一个标准单位法向量可取为： $\vec{n}=(1,0,0)\text{（式5）}$

设直线 $AP$ 与平面 $BC{C}_1{B}_1$ 所成的角为 $\theta$。根据线面角向量计算公式： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|(-4)\times 1+4\times 0+1\times 0|}{\sqrt{33}\times 1}=\frac{4}{\sqrt{33}}=\frac{4\sqrt{33}}{33}\text{（式6）}$ 用反三角函数表示线面角的大小： $\theta =\arcsin \frac{4\sqrt{33}}{33}$

(2) 设 $O$ 点在平面 $D_{1}AP$ 上的射影是 $H$，求证： $D_{1}H\perp AP$ 证明： 因为点 $H$ 是点 $O$ 在平面 $D_{1}AP$ 上的正射影，由线面垂直的性质定理可知，连线 $OH$ 严格垂直于该平面内的任意直线。 由于 $AP\subset \text{平面 }{D}_{1}AP$，有： $OH\perp AP⟹\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AP}=0\text{（式7）}$

下面计算向量 $\overrightarrow{O{D}_1}$ 与直线方向向量 $\overrightarrow{AP}$ 的数量积。 由（式1） $O(2,2,4)$ 及 $D_1(0,0,4)$ 可得： $\overrightarrow{O{D}_1}=D_1-O=(0,0,4)-(2,2,4)=(-2,-2,0)\text{（式8）}$ 将（式8）与（式3） $\overrightarrow{AP}=(-4,4,1)$ 进行点积计算： $\overrightarrow{O{D}_1}\cdot \overrightarrow{AP}=(-2)\times (-4)+(-2)\times 4+0\times 1=8-8+0=0\text{（式9）}$ 由（式9）数量积为 0 可知： $O{D}_1\perp AP\text{（式10）}$

因为 $OH\cap O{D}_1=O$，且 $OH,O{D}_1\subset \text{平面 }O{D}_{1}H$。 结合（式7）与（式10），直线 $AP$ 垂直于平面 $O{D}_{1}H$ 内的两条相交直线。 根据线面垂直的判定定理： $AP\perp \text{平面 }O{D}_{1}H\text{（式11）}$ 又因为 $D_{1}H\subset \text{平面 }O{D}_{1}H$，由线面垂直的性质定理最终导出： $D_{1}H\perp AP$

(3) 求点 $P$ 到平面 $AB{D}_1$ 的距离 $d$ 首先确定平面 $AB{D}_1$ 的几何要素。 $\overrightarrow{AB}=B-A=(4,4,0)-(4,0,0)=(0,4,0)\text{（式12）}$ $\overrightarrow{A{D}_1}=D_1-A=(0,0,4)-(4,0,0)=(-4,0,4)\text{（式13）}$

设平面 $AB{D}_1$ 的法向量为 $\vec{m}=(x,y,z)$，则必须同时满足垂直约束： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{AB}=0⟹4y=0⟹y=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0⟹-4x+4z=0⟹x=z\end{array}$ 令 $x=1$，则 $z=1$，求得平面 $AB{D}_1$ 的一个标准法向量为： $\vec{m}=(1,0,1)\text{（式14）}$

点 $P(0,4,1)$ 到平面 $AB{D}_1$ 的距离 $d$，等于起点在平面上（取点 $A$）终点为 $P$ 的空间向量 $\overrightarrow{AP}$ 在该平面法向量 $\vec{m}$ 上的投影绝对值。 由（式3）知 $\overrightarrow{AP}=(-4,4,1)$，套用点面距离恒等性质公式： $d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{m}|}{|\vec{m}|}\text{（式15）}$ 将（式14）代入（式15）中进行算术求值： $d=\frac{|(-4)\times 1+4\times 0+1\times 1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

答：点 $P$ 到平面 $AB{D}_1$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的精准建系与点坐标映射；线面角的向量代数方程；利用线面垂直判定定理推导线线垂直；点到平面距离的法向量投影运算公式。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问证明几何垂直时，切忌直接去求点 $H$ 的具体三维坐标：因为 $H$ 是射影动点，强行解出平面方程再求 $H$ 坐标会引入大量的分数代数运算，极易出错。请牢记射影垂直证明铁律：凡是证明‘射影垂线与外侧斜线垂直’，90% 属于三垂线定理的化身。核心动作为无条件利用线面垂直恒等性质（即 $OH\perp \text{平面}$ 推出 $OH\perp AP$），再通过建系直接心算点积 $\overrightarrow{O{D}_1}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，通过线面垂直的传递性直接实现逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学立体几何经典大题，属于高考考查空间想象能力、逻辑推导功底以及利用微积分直角坐标系工具定量分析空间度规性质的标准压轴大题。
2. 结论推广: 求点到平面的距离，可转化为点到直线的距离，或利用等体积法（锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$）求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2019-上海卷-17 解-线面角
• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质