2004-江苏卷-15 填-等比数列的定义与通项公式

本题导读

本题考查等比数列的定义与通项公式，以及指数幂的运算。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$， $S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{2}$ （对于所有 $n\ge 1$），且 $a_4=54$，则 $a_1$ 的数值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（识别数列固有类型）：
   • 方法一（公式特征法）：对比标准的等比数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$。已知条件 $S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{2}=\frac{a_1(3^n-1)}{3-1}$，结构完全吻合。由此可直接断定数列 $\{a_n\}$ 严格是一个以 $q=3$ 为公比的等比数列。
   • 方法二（通用递推法）：若不直接使用公式性质，可利用 $a_4=S_4-S_3$ 的基本关系，将 $n=4$ 和 $n=3$ 分别代入已知 $S_n$ 表达式中做差，建立关于 $a_1$ 的代数方程。
2. 第二步逻辑（建立关于 $a_1$ 的方程）：
   • 采用方法一，根据等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将 $n=4,q=3$ 代入，得 $a_4=a_1\times 3^3=27a_1$。
   • 采用方法二，直接计算 $S_4-S_3=\frac{a_1(3^4-1)}{2}-\frac{a_1(3^3-1)}{2}=\frac{a_1(81-1)-a_1(27-1)}{2}=\frac{80a_1-26a_1}{2}=27a_1$。
3. 第三步逻辑（解方程求值）：由已知条件 $a_4=54$，建立一元一次方程 $27a_1=54$，求解出首项 $a_1$ 的确切数值。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

• 方法一：等比数列结构识别法（推荐）： 已知数列的前 $n$ 项和公式为： $S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{2}\text{（式1）}$ 回顾公比为 $q(q\ne 1)$ 的标准等比数列前 $n$ 项和公式： $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\text{（式2）}$ 将（式1）的分母进行等价拆解变形： $S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{3-1}\text{（式3）}$ 对比（式3）与（式2）的代数结构可见，该数列完整符合等比数列求和特征，其公比严格为： $q=3\text{（式4）}$

  根据等比数列的通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，写出第四项 $a_4$ 的表达式： $a_4=a_1\cdot q^3\text{（式5）}$ 将（式4）中的 $q=3$ 代入（式5）中： $a_4=a_1\cdot 3^3=27a_1\text{（式6）}$ 已知条件给出 $a_4=54$，联立（式6）建立一元一次方程： $27a_1=54⟹a_1=\frac{54}{27}=2$

• 方法二：项和差值递推通用法： 根据数列基本通项与前 $n$ 项和的互化性质，对于任意第 $n$ 项恒有： $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)\text{（式7）}$ 令 $n=4$，则第四项可由前 4 项和与前 3 项和作差给出： $a_4=S_4-S_3\text{（式8）}$

  顺次将 $n=4$ 和 $n=3$ 代入题干给定的 $S_n$ 表达式（式1）中： $S_4=\frac{a_1(3^4-1)}{2}=\frac{a_1(81-1)}{2}=\frac{80a_1}{2}=40a_1\text{（式9）}$ $S_3=\frac{a_1(3^3-1)}{2}=\frac{a_1(27-1)}{2}=\frac{26a_1}{2}=13a_1\text{（式10）}$

  将（式9）与（式10）代回（式8）的差分方程中： $a_4=40a_1-13a_1=27a_1\text{（式11）}$ 结合已知条件 $a_4=54$，代入（式11）中求解： $27a_1=54⟹a_1=2$

填空题最终答案为： 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列求和公式的标准结构比对；前 $n$ 项和基本消元运算 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 的基本应用；一元一次线性方程求解。
2. 核心方法：公式特征法、做差求项法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在计算指数幂 $3^3$ 或 $3^4$ 时由于思维定势产生低级算术笔误：例如误将 $3^3$ 算成 9 或者是把 $3^4$ 算成 64。请牢记数列计算铁律：在草稿纸上动笔计算任何 3 的高次方幂时，强行写出连乘步骤，即 $3^3=3\times 3\times 3=27$，通过多花 2 秒钟的稳健书写，可以彻底杜绝由于心理紧张导致的非智力失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材“等比数列的前 $n$ 项和”章节关于基本量换算的典型课后核心练习题，是高考考查离散序列算术基本功的最标准低档填空题。
2. 结论推广: 若数列前 $n$ 项和 $S_n=A(q^n-1)$，则由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 得 $a_n=A(q-1)q^{n-1}$，即该数列是首项为 $A(q-1)$、公比为 $q$ 的等比数列。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-02 填-等比数列的通项
• 1988-广东文-01 单-等比数列的通项
• 1989-广东理-07 单-等比数列通项