2004-江苏卷-13 填-二次函数

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质，以及函数零点与对称性。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 二次函数 $y=a{x}^2+bx+c(x\in \mathbf{R})$ 的部分对应值如下表：

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$6$	$0$	$-4$	$-6$	$-6$	$-4$	$0$	$6$

则不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取零点：不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ 的边界是方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根。由表，$x=-2$ 和 $x=3$ 时 $y=0$，故零点为 $x_1=-2,x_2=3$。
2. 判定开口方向：$x$ 从 $-2$ 到 $3$ 时，$y$ 从 $0$ 降到 $-6$ 再回到 $0$，两零点之间函数值小于 0，故开口向上（$a>0$）。
3. 确定解集：开口向上时，$y>0$ 的解在两根外侧，即 $x<-2$ 或 $x>3$。

✅【答案】

Success

$\{x|x<-2\text{ 或 }x>3\}$ ［或 $(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$］

✍【详细解析】

Abstract

• 提取零点 由表，当 $x=-2$ 和 $x=3$ 时： $y(-2)=0,y(3)=0\text{（式1）}$ 故方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的两根为： $x_1=-2,x_2=3\text{（式2）}$

• 判定开口方向 由表，当 $x\in (-2,3)$ 时函数值均小于 0（如 $y(0)=-6<0$）。 两根之间函数值小于 0，说明抛物线开口向上： $a>0\text{（式3）}$

  当 $x<-2$ 或 $x>3$ 时函数值均大于 0（如 $y(-3)=6>0,y(4)=6>0$）。

• 确定解集 不等式 $a{x}^2+bx+c>0$ 即求 $y>0$ 的自变量取值。结合开口向上（式3）与两根（式2），解集在两根外侧： $x<-2\text{或}x>3\text{（式4）}$

  写成集合形式： $\{x|x<-2\text{ 或 }x>3\}\text{或}(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$

填空题最终答案为： $\{x|x<-2\text{ 或 }x>3\}$ ［或 $(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$］。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的对应关系；从数表提取零点与开口方向。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：
   • 解集格式不规范：题目要求填”解集”，应写完整的集合形式 $\{x|\dots \}$ 或区间并集形式，不要只写 $x<-2$ 或 $x>3$。
   • 注意零点 $x=-2,3$ 处 $y=0$，不取等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查一元二次不等式及其解法，属低档题。
2. 结论推广: 二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$：当 $a>0$ 且有两根 $x_1<x_2$ 时，解集为 $x<x_1$ 或 $x>x_2$；当 $a<0$ 时，解集为 $x_1<x<x_2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围
• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断