2004-江苏卷-09 单-古典概型与排列组合计数

本题导读

本题考查古典概型与排列组合计数，以及间接排除法。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1, 2, 3, 4, 5, 6 的正方体玩具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点的概率是 ()

A. $\frac{5}{216}$　　　　　B. $\frac{25}{216}$　　　　　C. $\frac{31}{216}$　　　　　D. $\frac{91}{216}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（建立对立事件）：目标事件 $A$ 为“先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点”。由于“至少出现一次”包含出现 1 次、2 次、3 次三种互斥情形，直接分类计算较为繁琐。因此采用对立事件法则，设其对立事件为 $\bar{A}$，即“先后抛掷 3 次，没有一次出现 6 点（全非 6 点）”。
2. 第二步逻辑（计算单次非 6 概率）：一颗均匀骰子有 6 个面。单次抛掷时，出现 6 点的概率为 $p=\frac{1}{6}$；不出现 6 点（即出现 1, 2, 3, 4, 5 点）的对立概率为 $q=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
3. 第三步逻辑（计算 3 次全非 6 概率）：由于先后抛掷 3 次属于相互独立事件，连续 3 次都不出现 6 点的概率根据乘法公式直接求出，即 $P(\bar{A})={\left(\frac{5}{6}\right)}^3$。
4. 第四步逻辑（求最终概率）：利用总概率恒等性质方程 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 减法输出结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 确定单次试验的概率度量： 将一颗质地均匀的骰子抛掷 1 次，其样本空间包含 6 个等可能的基本事件。 记单次抛掷“出现 6 点”为事件 $M$，其概率为： $P(M)=\frac{1}{6}$ 则单次抛掷“不出现 6 点”为其对立事件 $\bar{M}$，满足： $P(\bar{M})=1-P(M)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\text{（式1）}$

• 运用独立事件乘法公式求对立面概率： 设“先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点”为目标事件 $A$。 该事件的对立事件 $\bar{A}$ 严格表征为：“先后抛掷 3 次，均没有出现 6 点”。 由于先后 3 次抛掷之间在物理与代数空间上彼此相互独立，连续 3 次均不出现 6 点的联合概率可应用乘法公式，由（式1）的 3 次幂给出： $P(\bar{A})=[P(\bar{M}){]}^3={\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{5^3}{6^3}=\frac{125}{216}\text{（式2）}$

• 通过对立恒等性质求出最终解： 根据概率论基本恒等式 $P(A)+P(\bar{A})=1$，将（式2）的结果代入减法方程中： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{125}{216}=\frac{216-125}{216}=\frac{91}{216}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件的概率乘法原理；对立事件性质 $P(A)=1-P(\bar{A})$； 3 次方幂运算的算术准确性。
2. 核心方法：补集思想（正难则反）。
3. 避坑指南：
   • 切忌在看到印刷不清时盲目凭感觉去凑选项：本题根据标准分母 $6^3=216$ 以及分子 $216-125=91$ 的数论特征，可以完美倒推恢复出漏掉的题干信息。
   • 坚决避免使用直接法分类计算：如果用直接法，需要分别计算“1次6点2次非6” ${\text{C}}_3^1\left(\frac{1}{6}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{75}{216}$ ，“2次6点1次非6” ${\text{C}}_3^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{15}{216}$ ，“3次全6” ${\text{C}}_3^3{\left(\frac{1}{6}\right)}^3=\frac{1}{216}$，最后加和 $\frac{75+15+1}{216}=\frac{91}{216}$。虽然结果相同，但分步组合数 ${\text{C}}_3^r$ 极易漏乘，费时费力。请牢记概率计数铁律：凡是看到题干带有‘至少’、‘至多’等字眼，95% 以上的首选战略无条件是‘正难则反’运用补集排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“相互独立事件同时发生的概率”章节的课后标配母题，属于高考考查古典概型基本功的最典型低档选择题。
2. 结论推广: 一般地，设单次独立伯努利试验中目标事件发生的概率为 $p$（对立面不发生概率为 $q=1-p$）。在 $n$ 重独立重复试验（二项分布图形）中，该目标事件“至少发生一次”的全局几何量恒等性质公式由下式完整定义： $P=1-(1-p{)}^n=1-q^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2008-浙江文-19 解-摸球古典概型
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用