2004-江苏卷-08 单-对数函数与性质

本题导读

本题考查对数函数的概念与性质，以及待定系数法求函数解析式。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 若函数 $y={\log }_a(x+b)(a>0,a\ne 1)$ 的图象过两点 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$，则 ()

A. $a=2,b=2$　　　　　　　　　　　　　B. $a=\sqrt{2},b=2$

C. $a=2,b=1$　　　　　　　　　　　　　D. $a=\sqrt{2},b=\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（利用第一个点建立方程）：已知函数图象过点 $(-1,0)$。将 $x=-1,y=0$ 代入函数解析式中，得到 $0={\log }_a(-1+b)$。根据对数的性质，真数严格为 1 时对数函数值才为 0。由此可直接解出未知数 $b$ 的值。
2. 第二步逻辑（利用第二个点建立方程）：已知函数图象过点 $(0,1)$。将 $x=0,y=1$ 代入解析式中，得到 $1={\log }_a(0+b)={\log }_{a}b$。将第一步求得的 $b$ 值代入该式中，利用对数的定义（真数等于底数的 1 次幂）直接求出底数 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 由点 $(-1,0)$ 建立方程求解参数 $b$： 因为函数 $y={\log }_a(x+b)$ 的图象通过点 $(-1,0)$， 将该点坐标代入函数方程中，可得： $0={\log }_a(-1+b)\text{（式1）}$ 根据对数函数性质，在合法的底数域内，恒有 ${\log }_{a}1=0$。 令（式1）中的真数部分等于 1，建立一元一次方程： $-1+b=1⟹b=1+1⟹b=2\text{（式2）}$

• 由点 $(0,1)$ 建立方程求解参数 $a$： 因为函数图象同时通过点 $(0,1)$， 将该点坐标代入解析式中，可得： $1={\log }_a(0+b)⟹1={\log }_{a}b\text{（式3）}$ 将已求得的参数值 $b=2$（式2）代入（式3）的特征方程中： $1={\log }_{a}2\text{（式4）}$

  根据对数的基本定义， ${\log }_{a}N=b⟺a^b=N$。将（式4）式化为等价的指数形式： $a^1=2⟹a=2\text{（式5）}$

• 汇总结果： 由（式2）与（式5）可知： $a=2,b=2$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求对数解析式；对数恒等式 ${\log }_{a}1=0$ 以及对数基本定义 ${\log }_{a}a=1$ 的应用。
2. 核心方法：坐标代入方程组法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在进行对数与指数转换时犯方向性笔误：例如把 ${\log }_{a}2=1$ 误写成 $2^1=a$ 或者是 $1^a=2$，导致算出来的底数出现混乱。请牢记对数定义转换口诀：‘底数的对数次方等于真数’，对数式中的左下角小字母 $a$ 在变为指数式时依然无条件充当底数，右边的值 1 直接变成指数，即 $a^1=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“对数函数及其性质”章节的课后基础练习题，是高考考查对待定系数法以及基本对数运算群掌握情况的标准低档选择题。
2. 结论推广: 求 $y={\log }_a(x+b)$ 中的参数，可代入已知点坐标列方程：过 $(x_1,0)$ 得 $x_1+b=1$；过 $(x_2,1)$ 得 $x_2+b=a$，联立即可解出 $a,b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-辽宁-03 解-指数与对数运算