2004-广东卷理-20 解-坐标法

本题导读

本题考查垂直平分线的几何性质。核心在于解析几何坐标建模法、轨迹方程联立求解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 $4\text{ s}$.已知各观测点到该中心的距离都是 $1020\text{ m}$.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为 $340\text{ m/s}$，相关各点均在同一平面上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：建立空间直角坐标系 以该中心为原点 $O(0,0)$，以正东方向为 $x$ 轴正方向，以正北方向为 $y$ 轴正方向，建立平面直角坐标系。 由各观测点到中心的距离均为 $1020\text{ m}$，写出三个观测点的坐标：正东点 $A(1020,0)$，正西点 $B(-1020,0)$，正北点 $C(0,1020)$。设巨响发生的位置为动点 $P(x,y)$。
2. 第二步逻辑：根据几何条件建立第一组轨迹方程 已知正西观测点 $B$ 与正北观测点 $C$ 同时听到巨响，说明声音传播到 $B$ 和 $C$ 的距离完全相等，即满足 $|PB|=|PC|$。根据平面几何性质，动点 $P$ 必然落在点 $B$ 与点 $C$ 连线的垂直平分线（中垂线） $L_1$ 上。
3. 第三步逻辑：根据几何条件建立第二组轨迹方程 已知正东观测点 $A$ 比正西观测点 $B$ 晚听到 $4\text{ s}$，根据“距离 = 速度 $\times$ 时间”， $P$ 到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离长 $\Delta s=340\times 4=1360\text{ m}$，即 $|PA|-|PB|=1360$。根据双曲线的定义，动点 $P$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点的双曲线的左支 $L_2$。
4. 第四步逻辑：联立求解 将中垂线方程 $L_1$ 与双曲线方程 $L_2$ 联立组成方程组，解出 $(x,y)$，并结合 $x<0$ 的符号约束确定最终的物理位置。

✅【答案】

Success

巨响发生的位置在中心的西偏北 $45^{\circ }$ 方向（或西北方向），距该中心的直线距离为：

✍【详细解析】

Abstract

• 建立直角坐标系与点坐标表达： 以该中心为平面直角坐标系的原点 $O(0,0)$，以正东方向为 $x$ 轴正方向，以正北方向为 $y$ 轴正方向。 因为三个观测点到中心的距离均为 $1020\text{ m}$，所以三个观测点的坐标分别为：

  • 正东观测点： $A(1020,0)$
  • 正西观测点： $B(-1020,0)$
  • 正北观测点： $C(0,1020)$

  设巨响发生的位置为动点 $P(x,y)$．

• 求动点 $P$ 的第一条轨迹方程（线段 $BC$ 的垂直平分线）： 因为正西观测点 $B$ 与正北观测点 $C$ 同时听到巨响，声音在空气中匀速传播，所以 $P$ 到 $B$ 与 $C$ 的距离相等： $|PB|=|PC|⟹\sqrt{(x+1020{)}^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1020{)}^2}$ 两边同时平方展开： $x^2+2040x+1020^2+y^2=x^2+y^2-2040y+1020^2$ 消去相同项后简化得： $2040x=-2040y⟹y=-x\text{（式1）}$

• 求动点 $P$ 的第二条轨迹方程（双曲线左支）： 因为正东观测点 $A$ 听到巨响的时间比正西观测点 $B$ 晚 $4\text{ s}$，声音的传播速度为 $340\text{ m/s}$，所以： $|PA|-|PB|=340\times 4=1360\text{ m}\text{（式2）}$ 由于 $|PA|>|PB|$ 且 $|AB|=1020-(-1020)=2040\text{ m}$，满足 $0<1360<2040$，根据双曲线定义，动点 $P$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点的双曲线的左支。

  设定该双曲线的标准方程参数：

  • 半焦距： $c=1020$
  • 实半轴： $2a=1360⟹a=680⟹a^2=680^2=462400$
  • 虚半轴： $b^2=c^2-a^2=1020^2-680^2=(1020-680)(1020+680)=340\times 1700=578000$

  写出双曲线的左支方程： $\frac{x^2}{462400}-\frac{y^2}{578000}=1(\text{其中 }x\le -680)\text{（式3）}$

• 联立方程组求解交点坐标： 将（式1） $y=-x$ 代入双曲线方程（式3）中： $\frac{x^2}{462400}-\frac{(-x{)}^2}{578000}=1⟹\frac{x^2}{462400}-\frac{x^2}{578000}=1$ 提取公因式 $x^2$ 并通分： $x^2\cdot \left(\frac{578000-462400}{462400\times 578000}\right)=1⟹x^2\cdot \frac{115600}{462400\times 578000}=1$ 简化分式系数： $\frac{115600}{462400}=\frac{1156}{4624}=\frac{1}{4}$ 代入原式： $x^2\cdot \frac{1}{4\times 578000}=1⟹x^2=2312000$ 因为动点 $P$ 落在双曲线的左支，必须满足 $x<0$： $x=-\sqrt{2312000}=-\sqrt{40000\times 57.8}=-200\sqrt{57.8}=-400\sqrt{14.45}$ 精确开根号化简： $2312000=160000\times 14.45=40000\times 57.8=4\times 578000=4\times 1000\times 578=400\times 5780$ 因数分解： $2312000=1360^2\times \frac{5}{4}$ 并不对。 重新分解： $2312000=340^2\times 20$。 $x=-340\sqrt{20}=-680\sqrt{5}$ 将 $x=-680\sqrt{5}$ 代回（式1） $y=-x$ 中，得： $y=680\sqrt{5}$

• 核验物理意义并输出结论： 由于 $x=-680\sqrt{5}\approx -680\times 2.236=-1520.48<-680$，完全符合双曲线左支的自变量域切片限制。 该位置对应的几何坐标为 $\left(-680\sqrt{5},680\sqrt{5}\right)$。

答：巨响发生的位置在中心的西偏北 $45^{\circ }$ 方向（或西北方向），距该中心的直线距离为： $|OP|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-680\sqrt{5}{)}^2+(680\sqrt{5}{)}^2}=680\sqrt{5}\times \sqrt{2}=680\sqrt{10}\text{ m}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标系的应用建模；利用双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 确立圆锥曲线方程；一元二次方程在大数状态下的因式分解开根基本功。
2. 核心方法：数形结合坐标解析法。
3. 避坑指南：
   • 极易在算大数平方时发生算术笔误。例如计算 $b^2=1020^2-680^2$ 时，强烈建议不要直接算平方，而是利用平方差公式 $(1020-680)(1020+680)=340\times 1700$ 快速化简。
   • 开根号化简 $x=-\sqrt{2312000}$ 时容易卡壳。可以观察到前置参数中包含 $340$，尝试提取 $340^2=115600$。经检验 $2312000÷115600=20$，可直接化简为 $-340\sqrt{20}=-680\sqrt{5}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解析几何中经典的“双曲线定位法（Hyperbolic navigation）”应用题，其物理与工程背景为二次大战中广泛采用的罗兰远距离无线电导航系统（LORAN）以及现代地震波震源定位技术。
2. 结论推广: 到两定点距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线的一支。已知两定点距离差时，可直接写出双曲线方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程
• 1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质