2004-广东卷理-17 解-等比数列的定义与等比中项

本题导读

本题考查等比数列的定义与等比中项。核心在于等比数列性质代数化归法、因式分解与特殊角讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 已知 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成公比为 $2$ 的等比数列 ($\alpha \in [0,2\pi ]$)，且 $\sin \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma$ 也成等比数列.求 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据等比数列的定义，已知首项为 $\alpha$，公比为 $2$，可以直接将三个角表达为关于 $\alpha$ 的一元显式关系： $\beta =2\alpha$， $\gamma =4\alpha$。
2. 第二步逻辑：根据等比中项的性质，由 $\sin \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma$ 成等比数列，可建立复杂三角方程： ${\sin }^2\beta =\sin \alpha \cdot \sin \gamma$。将第一步的角代入，得到 ${\sin }^{2}2\alpha =\sin \alpha \cdot \sin 4\alpha$。
3. 第三步逻辑：利用二倍角公式将 $\sin 4\alpha$ 展开为 $2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$，并将方程移项进行因式分解。提取公因式 $\sin 2\alpha$ 后，对方程分为 $\sin 2\alpha =0$ 和剩余项为 0 两种情况分类讨论，结合 $\alpha \in [0,2\pi ]$ 的区间界限分别求解，并代回原数列检验等比数列非零的前提约束。

✅【答案】

Success

$\alpha =\frac{2\pi }{3},\beta =\frac{4\pi }{3},\gamma =\frac{8\pi }{3}$，或 $\alpha =\frac{4\pi }{3},\beta =\frac{8\pi }{3},\gamma =\frac{16\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

• 利用等比数列定义转化角的关系： 因为 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成公比为 2 的等比数列，所以： $\beta =2\alpha ,\gamma =4\alpha \text{（式1）}$

• 利用等比中项性质建立三角方程： 因为 $\sin \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma$ 也成等比数列，根据等比中项定义满足： ${\sin }^2\beta =\sin \alpha \cdot \sin \gamma \text{（式2）}$ 将（式1）代入（式2）中，化为关于 $\alpha$ 的一元三角方程： ${\sin }^{2}2\alpha =\sin \alpha \cdot \sin 4\alpha \text{（式3）}$

• 运用二倍角公式因式分解化简方程： 应用正弦二倍角公式将右侧的 $\sin 4\alpha$ 展开： $\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$ 代入（式3）中，得： ${\sin }^{2}2\alpha =2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha \cos 2\alpha$ 将右侧项移到等式左侧，并提取公因式 $\sin 2\alpha$： ${\sin }^{2}2\alpha -2\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha \cos 2\alpha =0$ $\sin 2\alpha \cdot (\sin 2\alpha -2\sin \alpha \cos 2\alpha )=0\text{（式4）}$ 再次对括号内部的 $\sin 2\alpha$ 展开二倍角： $\sin 2\alpha \cdot (2\sin \alpha \cos x-2\sin \alpha \cos 2\alpha )=0$ 提取常数 2 与 $\sin \alpha$： $2\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha \cdot (\cos \alpha -\cos 2\alpha )=0\text{（式5）}$

• 分域讨论求解三角方程： 由（式5）可知，方程成立当且仅当以下三个乘积因子之一为 0。结合已知边界 $\alpha \in [0,2\pi ]$ 顺次讨论：

  1. 若 $\sin \alpha =0$： 在 $[0,2\pi ]$ 上，解得 $\alpha =0,\pi ,2\pi$。
     • 当 $\alpha =0$ 时， $\sin \alpha =\sin \beta =\sin \gamma =0$。根据等比数列的定义，等比数列的项不能为 0，故 $\alpha =0$ 舍去。
     • 当 $\alpha =\pi$ 时， $\beta =2\pi ,\gamma =4\pi$，此时 $\sin \pi =\sin 2\pi =\sin 4\pi =0$，同理舍去。
     • 当 $\alpha =2\pi$ 时， $\sin 2\pi =\sin 4\pi =\sin 8\pi =0$，同理舍去。
  2. 若 $\sin 2\alpha =0$： 因为 $\alpha \in [0,2\pi ]⟹2\alpha \in [0,4\pi ]$。 解得 $2\alpha =0,\pi ,2\pi ,3\pi ,4\pi ⟹\alpha =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$。
     • 由上一项讨论知 $\alpha =0,\pi ,2\pi$ 导致项为 0，必须舍去。
     • 当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时， $\beta =\pi ,\gamma =2\pi$，此时 $\sin \beta =\sin \pi =0$，导致等比数列项为 0，舍去。
     • 当 $\alpha =\frac{3\pi }{2}$ 时， $\beta =3\pi ,\gamma =6\pi$，此时 $\sin \beta =\sin 3\pi =0$，同理舍去。
  3. 若 $\cos \alpha -\cos 2\alpha =0⟹\cos 2\alpha =\cos \alpha$： 应用余弦二倍角公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 代入： $2{\cos }^2\alpha -1=\cos \alpha ⟹2{\cos }^2\alpha -\cos \alpha -1=0$ 利用十字相乘法因式分解： $(2\cos \alpha +1)(\cos \alpha -1)=0$
     • 由 $\cos \alpha -1=0⟹\cos \alpha =1$。在 $[0,2\pi ]$ 内解得 $\alpha =0$ 或 $\alpha =2\pi$，已证舍去。
     • 由 $2\cos \alpha +1=0⟹\cos \alpha =-\frac{1}{2}$。 因为 $\alpha \in [0,2\pi ]$，余弦值为负分布在第二、三象限，由特殊角解得： $\alpha =\frac{2\pi }{3}\text{或}\alpha =\frac{4\pi }{3}$

• 对合法解进行完整性检验与输出：

  • 当 $\alpha =\frac{2\pi }{3}$ 时： $\beta =2\times \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3},\gamma =4\times \frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$ 验证对应的正弦值数列： $\sin \alpha =\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \beta =\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \gamma =\sin \frac{8\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 此数列的公比为 $-1\ne 0$，完全满足等比数列定义。解合法。

  • 当 $\alpha =\frac{4\pi }{3}$ 时： $\beta =2\times \frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{3},\gamma =4\times \frac{4\pi }{3}=\frac{16\pi }{3}$ 验证对应的正弦值数列： $\sin \alpha =\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \beta =\sin \frac{8\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \gamma =\sin \frac{16\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 此数列的公比为 $-1\ne 0$，完全满足等比数列定义。解合法。

综上所述，满足条件的所有解为： $\alpha =\frac{2\pi }{3},\beta =\frac{4\pi }{3},\gamma =\frac{8\pi }{3}\text{或}\alpha =\frac{4\pi }{3},\beta =\frac{8\pi }{3},\gamma =\frac{16\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列公比及中项基本方程建立；正弦、余弦二倍角公式的逆向展开；三角方程多因式复合情况下的分类讨论基本功。
2. 核心方法：因式分解法、边界值排除法。
3. 避坑指南：
   • 严重遗漏“等比数列的项绝不能为 0”这一底层物理约束：这是本题最核心的失分陷阱。很多学生在算出 $\alpha =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$ 后没有进行复核，直接全部作为正确答案输出。请务必牢记：等比数列中不管是项还是公比，都绝对不可以等于 0。必须将代入后导致正弦值为 0 的所有解无条件彻底剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查高中数学两核心板块（等比数列恒等性质、高阶三角方程求解）深度交织的综合解答题第一题，属于中等难度常规题。
2. 结论推广: 若 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成公比为 2 的等比数列（即 $\beta =2\alpha ,\gamma =4\alpha$），且 $\sin \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma$ 也成等比数列，则由等比中项条件 ${\sin }^{2}2\alpha =\sin \alpha \sin 4\alpha$ 可解得 $\alpha \equiv \pm \frac{2\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1954-全国-04 解-正切分式方程通解
• 1955-全国-04 解-解三角方程cos2x
• 1958-安徽-03 解-等差等比中项证倍角关系