2004-广东卷理-07 单-正方体的体积公式

本题导读

本题考查正方体的体积公式，以及三棱锥的体积公式。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 在棱长为 $1$ 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 $8$ 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{7}{6}$　　　　　　　C. $\frac{4}{5}$　　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：确定原正方体的总体积。已知正方体的棱长为 $1$，根据正方体体积公式 $V_{\text{正}}=a^3$，可得总体积为 $1$。
2. 第二步逻辑：分析每一个被截去的小三棱锥的几何构型与特征量。正方体共有 8 个顶点，每个顶点处用过共顶点的三条棱中点的平面截断，截下的三棱锥是以正方体顶点为顶点，以三个中点组成的线段为侧棱的直角三棱锥（其中的三条侧棱两两垂直，长度均为中点长 $\frac{1}{2}$）。利用锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$ 求出单个体积，乘以 8 后从总体积中扣除。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• 计算正方体的总体积： 已知正方体的棱长 $a=1$，其总体积为： $V_{\text{正方体}}=a^3=1^3=1$

• 计算单个截去的三棱锥体积： 正方体的一个顶点引出三条两两垂直的棱，截面过这三条棱的中点，截下的单个三棱锥是以该顶点为顶点、三条侧棱两两垂直且长度均为 $\frac{1}{2}$ 的直角三棱锥。 利用三条侧棱两两垂直的体积公式 $V=\frac{1}{6}abc$，可得： $V_{\text{单}}=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{48}$

• 通过割补法求剩余凸多面体的体积： 正方体共有 8 个顶点，每个角均截去一个这样全等的三棱锥，共截去 8 个。 则截去的总体积为： $V_{\text{截去}}=8\times V_{\text{单}}=8\times \frac{1}{48}=\frac{1}{6}$ 根据几何体积的割补原理，剩下的凸多面体（截角正方体）的体积为： $V_{\text{剩下}}=V_{\text{正方体}}-V_{\text{截去}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三棱锥特征体积的计算（三条侧棱两两垂直时 $V=\frac{1}{6}abc$）；空间不规则几何体体积的总体扣除（割补）策略。
2. 核心方法：体积整体减局部法。
3. 避坑指南：
   • 极易在计算直角三棱锥体积时漏掉锥体公式前方的系数 $\frac{1}{3}$。部分学生容易把锥体体计算成柱体体积 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，导致算出整体扣除后为 0 的荒谬结论。
   • 必须明确单个直角三棱锥的底面直角三角形边长为中点长 $\frac{1}{2}$，而不是原棱长 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自空间立体几何中正方体截角后的体积计算模型，考查割补法与体积公式。
2. 结论推广: 一般地，设一个棱长为 $L$ 的标准正方体，若在 $8$ 个顶点处对称地用过共顶点三棱上距离顶点为 $d$ ($0<d\le \frac{L}{2}$) 的平面进行切片裁剪，则截断后所产生的全新闭合凸多面体的体积恒满足如下完整齐次方程：$V(d)=L^3-\frac{4}{3}{d}^3$。本题中 $L=1,d=\frac{1}{2}$，代入通式直接秒杀：$V=1^3-\frac{4}{3}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=1-\frac{4}{3}\times \frac{1}{8}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ … 等一下，原题是过中点，中点边长为 $\frac{1}{2}$，单体体积为 $\frac{1}{6}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{48}$， 8个体积为 $\frac{1}{6}$， $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
   • 复核正误：单个直角三棱锥体积： $V=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{2}$ 是错的。底面积 $S=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$， 高 $h=\frac{1}{2}$。 $V_{\text{单}}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{48}$。
   • 8个总体积： $8\times \frac{1}{48}=\frac{1}{6}$。
   • 剩余体积： $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
   • 更正选项：应选 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积
• 1987-广东理-04 单-圆锥的体积
• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积