2004-天津理-18 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于公式法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 $\xi$ 表示所选 3 人中女生的人数.

(1) 求 $\xi$ 的分布列；

(2) 求 $\xi$ 的数学期望；

(3) 求“所选 3 人中女生人数 $\xi ⩽1$”的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：首先确定随机变量 $\xi$ 所有可能的取值。由于女生总共只有 2 人，且选出的总人数为 3 人，因此女生人数 $\xi$ 可取 $0,1,2$。接着利用组合数公式分别计算出每种取值对应的超几何分布概率 $P(\xi =k)=\frac{{\text{C}}_2^k\cdot {\text{C}}_4^{3-k}}{{\text{C}}_6^3}$，并列表。
2. 第二问：利用离散型随机变量数学期望的定义公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 进行定量计算。
3. 第三问：事件“ $\xi ⩽1$”包含 $\xi =0$ 与 $\xi =1$ 两个互斥的分支，将这两个对应的概率值直接相加即可，或者利用对立事件 $1-P(\xi =2)$ 来求解。

✅【答案】

Success

(1) $\xi$ 的分布列如上表所示

(2) 数学期望 $E(\xi )=1$

(3) 所求概率为 $\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 求 $\xi$ 的分布列： 由题意，总共可选的人数为 $4+2=6$ 人，从中任选 3 人的基本事件总数为： ${\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 随机变量 $\xi$ 表示选出 3 人中女生的人数。因为女生一共只有 2 人，所以 $\xi$ 所有可能的取值为 $0,1,2$。

分别计算对应的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，即选出的 3 人全为男生： $P(\xi =0)=\frac{{\text{C}}_4^3\cdot {\text{C}}_2^0}{{\text{C}}_6^3}=\frac{4\times 1}{20}=\frac{1}{5}$
• 当 $\xi =1$ 时，即选出 2 名男生和 1 名女生： $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_4^2\cdot {\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_6^3}=\frac{6\times 2}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$
• 当 $\xi =2$ 时，即选出 1 名男生和 2 名女生： $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_4^1\cdot {\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_6^3}=\frac{4\times 1}{20}=\frac{1}{5}$

因此，随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

(验证所有概率之和： $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=1$，结果合乎逻辑)

(2) 求 $\xi$ 的数学期望： 根据离散型随机变量数学期望的计算公式 $E(\xi )=\sum {\xi }_i\cdot P_i$，代入数据计算得： $E(\xi )=0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}$ $E(\xi )=0+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1$

(3) 求“所选 3 人中女生人数 $\xi ⩽1$”的概率： 事件“ $\xi ⩽1$”包含 $\xi =0$ 和 $\xi =1$ 两个互斥事件。 根据概率加法公式可得： $P(\xi ⩽1)=P(\xi =0)+P(\xi =1)$ 代入已知概率值： $P(\xi ⩽1)=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$

(另解：利用对立事件求解， $P(\xi ⩽1)=1-P(\xi =2)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$)

答：（1） $\xi$ 的分布列如上表所示；（2）数学期望 $E(\xi )=1$；（3）所求概率为 $\frac{4}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不放回抽样引发的超几何分布模型（利用组合数 ${\text{C}}_N^m$ 计数）、离散型变量分布列规范格式、期望定义式。
2. 核心方法：模型公式法。
3. 避坑指南：
   • 不要想当然地认为女生的最大取值是 3。有的同学看到“任选 3 人”就惯性地认为 $\xi$ 可以取 $0,1,2,3$，忽略了总体中女生实际人数一共只有 2 人的客观前提（即 ${\text{C}}_2^3$ 无意义），从而导致概率计算全错。
   • 分布列写完后，一定要在草稿纸上把所有概率加起来看是否等于 1，这是检验概率题有没有漏算或多算最为有效的纠错策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考概率统计板块标准解答题第一题。
2. 结论推广: 本题属于典型的超几何分布。一般地，若从含有 $M$ 个特殊元素的 $N$ 个总元素中不放回随机抽取 $n$ 个元素，抽到的特殊元素个数 $X$ 满足超几何分布 $X\sim H(n,M,N)$。其数学期望的通用理论公式为： $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$。代入本题参数验证： $n=3,M=2,N=6⟹E(\xi )=3\times \frac{2}{6}=1$，这与利用分布列逐步计算的结果完全吻合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2011-江西卷理-16 解-古典概型