2004-天津理-17 解-两角和的正切公式

本题导读

本题考查两角和的正切公式。核心在于整体代换法、弦化切法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 已知 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$.

(1) 求 $\tan \alpha$ 的值;

(2) 求 $\frac{\sin 2\alpha -{\cos }^2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用公式 $\tan (\beta +\alpha )=\frac{\tan \beta +\tan \alpha }{1-\tan \beta \tan \alpha }$ 将 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$ 展开，代入 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 后解关于 $\tan \alpha$ 的一元一次方程。
2. 第二问：
   • 思路一（切化弦）：利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$， $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 代入目标式化简，再将分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$ 转化为含 $\tan \alpha$ 的表达式直接代入。
   • 思路二（特殊化）：直接化简目标分式分母为 $2{\cos }^2\alpha$，裂项后得到 $\frac{\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }=\tan \alpha -\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $\tan \alpha$ 的值为 $-\frac{1}{3}$

(2) 目标式的值为 $-\frac{5}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 求 $\tan \alpha$ 的值： 根据两角和的正切公式展开已知条件： $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }=\frac{1}{2}$ 将 $\tan \frac{\pi }{4}=1$ 代入上式得： $\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1}{2}$ 交叉相乘去分母： $2(1+\tan \alpha )=1-\tan \alpha$ $2+2\tan \alpha =1-\tan \alpha$ 移项合并同类项： $3\tan \alpha =-1⟹\tan \alpha =-\frac{1}{3}$

(2) 求 $\frac{\sin 2\alpha -{\cos }^2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$ 的值： 利用三角函数二倍角公式对目标分式进行降次与化简。 已知二倍角公式： $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$ 将上述两个关系式代入目标求值式： $\text{原式}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha -{\cos }^2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }$ 将分子与分母同时拆开（裂项法）： $\text{原式}=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{2{\cos }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }$ 约分消去分子分母中的共同因式 $\cos \alpha$ 与 ${\cos }^2\alpha$： $\text{原式}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\frac{1}{2}$ 根据同角三角函数商的关系 $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$，代入得： $\text{原式}=\tan \alpha -\frac{1}{2}$ 将第（1）问求得的 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 代入上式中： $\text{原式}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{5}{6}$

答：（1） $\tan \alpha$ 的值为 $-\frac{1}{3}$；（2）目标式的值为 $-\frac{5}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和正切展开式、二倍角公式（余弦倍角公式的逆向一元化 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$）。
2. 核心方法：公式化简消元法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆两角和正切公式的分母符号。公式分母是 $1-\tan \beta \tan \alpha$，如果误记成加号，会解出错误的 $\tan \alpha$。
   • 在第（2）问化简时，优先观察分母的 $1+\cos 2\alpha$。直接运用二倍角公式化为 $2{\cos }^2\alpha$ 可以让分母变为单项式，之后的裂项求值会极其简便，避免了分子分母强行采用高维二元二次方程联立的复杂运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考三角函数大题第一题，考查基本恒等变换公式的熟练应用。
2. 结论推广: 对于一般形式的分式三角函数求值式 $\frac{A\sin 2\alpha +B{\cos }^2\alpha }{C+D\cos 2\alpha }$，当已知 $\tan \alpha$ 时，若满足 $C=D$（即分母可化为 $2C{\cos }^2\alpha$），整体分式总能通过裂项直接转化为最高次数为 1 次的 $M\tan \alpha +N$ 线性形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-浙江-04 解-弦化切求值
• 2016-全国卷III理-05 单-三角函数
• 1977-江西-07 填-二倍角求角