2004-天津理-14 填-直线的截距式方程

本题导读

本题考查直线的截距式方程，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 如果过两点 $A(a,0)$ 和 $B(0,a)$ 的直线与抛物线 $y=x^2-2x-3$ 没有交点，那么实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求直线方程：根据直线在两坐标轴上的截距均为 $a$，由直线的截距式方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ （注意需满足 $a\ne 0$）或截距式变体写出直线 $AB$ 的方程。
2. 联立消元：将直线的代数表达式代入抛物线方程中，消去未知数 $y$，整理得到关于 $x$ 的一元二次方程。
3. 判别式求解：因为直线与抛物线“没有交点”，意味着联立后的一元二次方程在实数范围内无解，令判别式 $\Delta <0$ 求解关于 $a$ 的不等式。
4. 检验特殊值：补全当 $a=0$ 时的特殊临界状态，确保逻辑完整性。

✅【答案】

Success

$\left(-\infty ,-\frac{13}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求过点 $A(a,0)$ 和 $B(0,a)$ 的直线方程 当 $a\ne 0$ 时，直线的截距式方程为： $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ 方程两边同乘以 $a$，得直线 $AB$ 的一般式方程： $x+y=a⟹y=-x+a$ 当 $a=0$ 时，点 $A$ 和点 $B$ 重合于原点 $(0,0)$，此时过两点的直线不唯一。但依题意“过两点 $A$ 和 $B$ 的直线”，表明 $A,B$ 应为两个互异的点，故隐含前提条件 $a\ne 0$。

• 第二步：联立直线与抛物线方程 将直线方程 $y=-x+a$ 代入抛物线方程 $y=x^2-2x-3$ 中： $-x+a=x^2-2x-3$ 移项整理，化为关于 $x$ 的标准一元二次方程： $x^2-x-(a+3)=0$

• 第三步：利用判别式求解 $a$ 的范围 因为直线与抛物线没有交点，所以该一元二次方程没有实数根。 其根的判别式必须严格小于 0： $\Delta =b^2-4ac=(-1{)}^2-4\times 1\times [-(a+3)]<0$ 展开并化简不等式： $1+4(a+3)<0$ $1+4a+12<0$ $4a<-13⟹a<-\frac{13}{4}$

由于 $-\frac{13}{4}<0$，解集 $a<-\frac{13}{4}$ 已自动满足 $a\ne 0$ 的限制条件。

故实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,-\frac{13}{4}\right)$。

答案：$\left(-\infty ,-\frac{13}{4}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的斜截式/截距式方程转换、二次曲线交点数与一元二次方程根的对应关系（ $\Delta <0$ ）。
2. 核心方法：联立消元判别式法。
3. 避坑指南：
   • 提取常数项时注意整体符号的变化。在将 $-x+a=x^2-2x-3$ 变形为 $x^2-x-(a+3)=0$ 时，常数项为 $-(a+3)$。代入 $\Delta =b^2-4ac$ 时，两个负号相乘变为正号（即 $+4(a+3)$）。部分同学易在此处因去括号或符号变号粗心导致计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考直线与二次曲线位置关系基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，直线 $y=kx+m$ 与抛物线 $y=A{x}^2+Bx+C(A\ne 0)$ 没有交点的充要条件，即为联立后的方程 $A{x}^2+(B-k)x+(C-m)=0$ 的判别式满足 $\Delta =(B-k{)}^2-4A(C-m)<0$。本题中斜率固定为 $k=-1$，截距固定为 $m=a$，代入该通式即可实现快速双向验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1988-广东文-03 单-直线的截距