2004-天津理-11 单-反函数的定义与求法

本题导读

本题考查反函数的定义与求法，以及指数与对数的互化。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 函数 $y=3^{x^2-1}(-1⩽x<0)$ 的反函数是 ()

A. $y=\sqrt{1+{\log }_{3}x}\left(x⩾\frac{1}{3}\right)$　　　　　　B. $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}\left(x⩾\frac{1}{3}\right)$

C. $y=\sqrt{1+{\log }_{3}x}\left(\frac{1}{3}<x⩽1\right)$　　　　D. $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}\left(\frac{1}{3}<x⩽1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求原函数的值域：根据 $-1⩽x<0$ 推导 $x^2-1$ 的范围，进而确定底数为 3 的指数型函数 $y$ 的取值范围，该范围即为反函数的定义域。
2. 反解自变量 $x$：利用对数定义将 $y=3^{x^2-1}$ 转化为以 3 为底的对数式，孤立 $x^2$。
3. 确定开方后的符号：结合原函数定义域 $-1⩽x<0$ 的负值特征，在对 $x^2$ 开平方时，必须选取负根。
4. 对调变量：将 $x,y$ 互换，写出反函数的完整解析式及定义域。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求原函数的值域（即反函数的定义域） 已知原函数的自变量范围为 $-1⩽x<0$， 对不等式各项平方可得： $0<x^2⩽1$ 各项同时减去 1，得指数部分的取值范围： $-1<x^2-1⩽0$ 因为底数 $3>1$，指数函数 $y=3^u$ 单调递增，故： $3^{-1}<3^{x^2-1}⩽3^0⟹\frac{1}{3}<y⩽1$ 由于原函数的值域等于其反函数的定义域，因此反函数的定义域为 $\left(\frac{1}{3}<x⩽1\right)$。 由此可排除 (A)、(B) 选项。

• 第二步：由原函数解析式反解 $x$ 由原方程 $y=3^{x^2-1}$，根据指数与对数的互化性质，两边取以 3 为底的对数： ${\log }_{3}y=x^2-1$ 移项整理，孤立 $x^2$： $x^2=1+{\log }_{3}y$

• 第三步：开方并确定 $x$ 的正负号 对上式两边开平方： $x=\pm \sqrt{1+{\log }_{3}y}$ 因为原函数给定的自变量范围是 $-1⩽x<0$， $x$ 恒为负数。 因此，开方时必须保留负根： $x=-\sqrt{1+{\log }_{3}y}$

• 第四步：互换 $x,y$ 得反函数 将上式中的 $x$ 与 $y$ 对调，并附加上第一步求得的定义域： $y=-\sqrt{1+{\log }_{3}x}\left(\frac{1}{3}<x⩽1\right)$

综合上述， (D) 选项符合题意。

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数值域与反函数定义域的等价性、对数指数互化、开方时变元的正负判定。
2. 核心方法：反解法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉开方后的正负判定。由 $x^2=A$ 解得 $x=\pm \sqrt{A}$，具体取正还是取负必须回看原函数对 $x$ 的结构限制。若因惯性思维直接默认取正号，会错误地选到 C 选项。
   • 严格区分半开半闭区间的端点状态。由 $-1⩽x<0$ 推出 $0<x^2⩽1$，由于 0 处是开区间，对应的 $3^{-1}$ 处也必须是开区间，极易因粗心算成闭区间导致解集形式产生偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考函数基本概念考查选择题，重在考查数学推导的严谨性。
2. 结论推广: 一般地，求函数 $y=f(x)(x\in [A,B])$ 的反函数，其核心逻辑闭环是由两部分组成：代数解析式的逆运算映射 $x=f^{-1}(y)$，以及定义域边界的几何映射 $D_{f^{-1}}=R_f$。二者缺一不可，在处理多重选择题时，优先计算值域往往能快速排除半数干扰项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1988-广东文-13 单-反函数的求法
• 1989-全国文-15 填-反函数的定义域