2004-天津理-10 单-柱体的体积公式

本题导读

本题考查柱体的体积公式，以及空间多面体的分割与截面。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $AB=6,AD=4,A{A}_1=3$. 分别过 $BC、A_1{D}_1$ 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 $V_1=V_{AE{A}_1-DF{D}_1},V_2=V_{EB{E}_1{A}_1-FC{F}_1{D}_1},V_3=V_{B_1{E}_{1}B-C_1{F}_{1}C}$. 若 $V_1:V_2:V_3=1:4:1$，则截面 $A_{1}EF{D}_1$ 的面积为 ()

A. $4\sqrt{10}$　　　　　　B. $8\sqrt{3}$　　　　　　C. $4\sqrt{13}$　　　　　　D. 16

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何体结构：被分割的三部分几何体均是以长方体的侧侧方向（即沿棱 $AD$ 方向）为高的柱体。其高均为 $AD=4$。
2. 转化体积比为面积比：由于三个柱体的高相等，它们的体积之比等于其在正前面 $AB{B}_1{A}_1$ 上的底面截面面积之比，即 $S_{△AE{E}_1}:S_{\text{五边形}}:S_{△B_1{E}_{1}B}$。
3. 求出关键线段长度：通过面积比例推导出线段 $AE$ 的长度。
4. 计算截面面积：截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是一个矩形，一条边为 $A_1{D}_1=4$，另一条边 $A_{1}E$ 可通过 $△A_{1}AE$ 的勾股定理求出。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：将体积比转化为底面积比 观察分割后的三个多面体：

  • 第一部分 $AE{A}_1-DF{D}_1$ 是以 $△AE{E}_1$ 对应的直角 $△AAE$ 为底面， $AD$ 为高的直三棱柱；
  • 第三部分 $B_1{E}_{1}B-C_1{F}_{1}C$ 是以直角 $△B_1{E}_{1}B$ 为底面， $AD$ 为高的直三棱柱；
  • 第二部分也是以六面体正前方的四边形（或五边形）为底面， $AD$ 为高的直柱体。

  因为这三部分的高均相同，全等于长方体的宽 $AD=4$。 由柱体体积公式 $V=S\cdot h$ 可知，它们的体积之比等于它们在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 上的底面积之比： $S_{△A_{1}AE}:S_{A_{1}EB{B}_1{E}_1}:S_{△B_1{E}_{1}B}=V_1:V_2:V_3=1:4:1$

• 第二步：求线段 $AE$ 的长度 侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 是一个长为 $AB=6$，宽为 $A{A}_1=3$ 的矩形，其总面积为： $S_{AB{B}_1{A}_1}=6\times 3=18$ 根据比例，直角 $△A_{1}AE$ 的面积占总面积的 $\frac{1}{1+4+1}=\frac{1}{6}$： $S_{△A_{1}AE}=18\times \frac{1}{6}=3$

  因为 $△A_{1}AE$ 是直角三角形（ $\angle A_{1}AE=90^{\circ }$），其面积公式为： $S_{△A_{1}AE}=\frac{1}{2}\times A{A}_1\times AE$ 已知 $A{A}_1=3$，代入得： $\frac{1}{2}\times 3\times AE=3⟹AE=2$

• 第三步：计算截面矩形的斜边 $A_{1}E$ 在直角 $△A_{1}AE$ 中，运用勾股定理求斜边 $A_{1}E$ 的长： $A_{1}E=\sqrt{A{A}_1^2+A{E}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

• 第四步：求截面 $A_{1}EF{D}_1$ 的面积 因为截面 $A_{1}EF{D}_1$ 的对边 $A_1{D}_1\parallel EF$ 且 $A_{1}E\parallel D_{1}F$，同时 $A_1{D}_1\perp$ 侧面 $AB{B}_1{A}_1$，所以 $A_1{D}_1\perp A_{1}E$。 由此可知，截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是一个标准矩形。 其面积为： $S_{A_{1}EF{D}_1}=A_1{D}_1\times A_{1}E$ 已知 $A_1{D}_1=AD=4$，代入计算得： $S_{A_{1}EF{D}_1}=4\times \sqrt{13}=4\sqrt{13}$

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等高柱体体积与底面积的线性正比关系、空间截面几何形状的判定（矩形）、直角三角形勾股定理。
2. 核心方法：等高投影法（一元化归法）。
3. 避坑指南：
   • 不要误将截面 $A_{1}EF{D}_1$ 当成普通四边形去求高。在长方体中，由棱面垂直可知 $A_1{D}_1$ 垂直于前侧面上的任意直线，因此 $\angle D_1{A}_{1}E=90^{\circ }$，其形状是严格的矩形，直接两边长相乘即可。
   • 计算比例时，注意总份数是 $1+4+1=6$ 份，切勿看漏第三部分的比例项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典空间立体几何大纲版体积分割选择题。
2. 结论推广: 一般地，若一个底面为多边形 $M$、高为 $h$ 的直柱体被一组平行于高的平面截为数个子柱体，则各子柱体的体积比严格等于截面在底面投影所划分的区域面积比。这一几何特质可用于将所有这类三维体积空间最值、比例问题，完美降维化归为二维平面图形的解析几何或初等几何问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-青海-03 解-长方体对角线求体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积
• 1987-广东理-04 单-圆锥的体积