2004-天津理-05 单-对数函数的单调性

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及对数函数的闭区间最值。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 若函数 $f(x)={\log }_{a}x(0<a<1)$ 在区间 $[a,2a]$ 上的最大值是最小值的 3 倍，则 $a=$ ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断单调性：由于底数满足 $0<a<1$，对数函数 $f(x)={\log }_{a}x$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上单调递减。
2. 确定最值点：根据单调递减性质，函数在区间左端点 $x=a$ 处取得最大值，在右端点 $x=2a$ 处取得最小值。
3. 列方程求解：根据“最大值是最小值的 3 倍”列出方程 ${\log }_{a}a=3{\log }_a(2a)$，利用对数运算性质化简求出 $a$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：分析单调性并确定最值表达式 因为对数函数 $f(x)={\log }_{a}x$ 的底数满足 $0<a<1$， 所以该函数在区间 $[a,2a]$ 上是严格单调递减的。 根据单调减函数的性质：

  • 当 $x=a$ 时，函数取得最大值： $f(x{)}_{\max }=f(a)={\log }_{a}a=1$
  • 当 $x=2a$ 时，函数取得最小值： $f(x{)}_{\min }=f(2a)={\log }_a(2a)$

• 第二步：建立方程 由题意，最大值是最小值的 3 倍： $f(a)=3f(2a)⟹1=3{\log }_a(2a)$ 方程两边同时除以 3，得： ${\log }_a(2a)=\frac{1}{3}$

• 第三步：利用对数定义化简求 $a$ 根据对数与指数的互化定义，上式等价于： $a^{\frac{1}{3}}=2a$ 两边同时立方（ 3 次方）以消去分数指数： ${\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3=(2a{)}^3⟹a=8a^3$ 因为 $a$ 作为对数的底数，必然满足 $a>0$，所以方程两边可同时除以 $a$： $1=8a^2⟹a^2=\frac{1}{8}$ 开平方取正值： $a=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 由于 $\frac{\sqrt{2}}{4}\approx \frac{1.414}{4}\approx 0.354$，满足 $0<a<1$ 的题设条件。

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： $0<a<1$ 时对数函数单调递减、对数恒等式 ${\log }_{a}a=1$、幂运算。
2. 核心方法：单调性最值映射法。
3. 避坑指南：
   • 不要记反非对称对数的底数单调性。若误以为 $a>1$ 导致函数单调递增，则会列出 ${\log }_a(2a)=3{\log }_{a}a=3⟹2a=a^3⟹a^2=2⟹a=\sqrt{2}$。虽然此解不存在于选项中，但也暴露出对概念理解的不扎实。
   • 化简 $a=8a^3$ 时，注意系数 2 也要进行立方运算变为 8，极易粗心漏开方错记成 $2a^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考对数函数图象与性质基础选择题。
2. 结论推广: 一般地，对数函数 $f(x)={\log }_{a}x(0<a<1)$ 在区间 $[a,ma](m>1)$ 上的最大值是最小值的 $n$ 倍，则必有 ${\log }_{a}a=n{\log }_a(ma)⟹\frac{1}{n}={\log }_a(ma)⟹a^{\frac{1}{n}}=ma⟹a^{1-n}=m^n⟹a=m^{\frac{n}{1-n}}$。代入本题参数 $m=2,n=3$ 计算： $a=2^{\frac{3}{1-3}}=2^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-内蒙古理-06 解-对数与正弦定理