2004-天津理-04 单-双曲线的几何性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及双曲线的第一定义。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 $3x-2y=0$， $F_1、F_2$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $|P{F}_1|=3$，则 $|P{F}_2|=$ ()

A. 1 或 5　　　　　　B. 6　　　　　　C. 7　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求参数 $a$：根据焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，利用已知渐近线 $y=\frac{3}{2}x$ 和 $b=3$ 求出 $a$ 的值。
2. 利用第一定义列方程：根据双曲线定义，曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于 $2a$，即 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，代入已知条件求出 $|P{F}_2|$ 的可能值。
3. 范围检验排除多解：利用双曲线上任意点到焦点的距离不小于 $c-a$（即 $|PF|⩾c-a$）这一几何约束，排除不合题意的多余解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：利用渐近线方程求参数 $a$ 由双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 可知，焦点在 $x$ 轴上，且 $b^2=9⟹b=3$。 该双曲线的渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{3}{a}x⟹3x\pm ay=0$ 已知其中一条渐近线方程为 $3x-2y=0$，对比系数对应相等可得： $a=2$

• 第二步：利用双曲线定义求 $|P{F}_2|$ 候选解 根据双曲线的第一定义，双曲线上的点 $P$ 到左、右焦点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于 $2a$： $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$ 将 $a=2,|P{F}_1|=3$ 代入上式中： $|3-|P{F}_2||=2\times 2=4$ 解该绝对值方程： 3 - |PF_2| = 4 \implies |PF_2| = -1 （由于距离必须为正数，舍去） 或 3 - |PF_2| = -4 \implies |PF_2| = 7

• 第三步：验证解的几何合理性 由于 $a=2,b=3$，根据勾股关系可求得半焦距： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ 双曲线上的点到焦点的最短距离为顶点到对应焦点的距离： $|PF{|}_{\min }=c-a=\sqrt{13}-2$ 因为 $\sqrt{13}\approx 3.6$，所以最小距离 $|PF{|}_{\min }\approx 3.6-2=1.6$。 题中给出的 $|P{F}_1|=3>1.6$，且算出的 $|P{F}_2|=7>1.6$，均符合几何实际，故解唯一， $|P{F}_2|=7$。

综合上述， (C) 选项符合题意。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线斜率公式 $\pm \frac{b}{a}$、双曲线定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。
2. 核心方法：定义转化法。
3. 避坑指南：
   • 不要盲目套用公式而忘却了距离为正的实际物理意义。在解绝对值方程 $|3-|P{F}_2||=4$ 时，有一支解会算出 $|P{F}_2|=-1$，由于线段长度恒大于 0，必须果断舍弃。
   • 如果本题中 $a$ 算出来很大使得 $|P{F}_1|=3<c-a$，则说明 $P$ 点不可能在右支，本题隐含了对点 $P$ 所在单侧分支的检验（本题中 $3>c-a$ 且 $7>c+a$，说明点 $P$ 位于双曲线的左支上）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考圆锥曲线基础定义考查选择题。
2. 结论推广: 一般地，若点 $P$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左支上，则焦半径公式为 $|P{F}_1|=-ex-a,|P{F}_2|=-ex+a$，此时必有 $|P{F}_2|-|P{F}_1|=2a$；若点 $P$ 在右支上，则有 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$。本题中由于 $|P{F}_2|>|P{F}_1|$，可逆推判定点 $P$ 必然处于双曲线的左半部分分支。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山东B-05 解-双曲线渐近线
• 1985-广东文-09 填-双曲线的渐近线夹角
• 1986-上海文-08 单-双曲线的渐近线