2004-天津理-02 单-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及不等式的同解变形。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 不等式 $\frac{x-1}{x}⩾2$ 的解集为 ()

A. $[-1,0)$　　B. $[-1,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-1]$　　D. $(-\infty ,-1]\cup (0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项：将常数 2 移到不等式左侧，使右侧为 0。
2. 通分：对左侧进行通分，合并同类项，化简为标准的分式不等式 $\frac{P(x)}{Q(x)}⩾0$。
3. 等价转化：将分式不等式转化为整式不等式组，注意分母不能为 0，求解出最终区间。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：移项通分 原不等式为： $\frac{x-1}{x}⩾2$ 将右侧的 2 移项到左侧： $\frac{x-1}{x}-2⩾0$ 通分化简左侧代数式： $\frac{x-1-2x}{x}⩾0⟹\frac{-x-1}{x}⩾0$

• 第二步：等价变形求解 分子分母同时乘以 $-1$，不等号改变方向： $\frac{x+1}{x}⩽0$ 根据分式不等式的同解变形法则，上述不等式等价于整式乘积不等式组： $(x+1)x⩽0\text{且}x\ne 0$ 解整式二次不等式 $(x+1)x⩽0$ 得： $-1⩽x⩽0$ 除去分母为 0 的点 $x\ne 0$，最终的解集范围为： $-1⩽x<0$

写成区间形式为 $[-1,0)$。

综合上述， (A) 选项符合题意。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式的标准移项通分步骤、分母非零的隐性限制。
2. 核心方法：等价整式转化法。
3. 避坑指南：
   • 切勿直接两边同乘以 $x$。由于未知数 $x$ 的正负性无法确定，直接去分母会因为不确定是否需要改变不等号方向而导致严重漏解或错解。
   • 注意区间端点的开闭状态。由于 $x$ 在分母位置，其对应的临界点 0 必须是开端点（小括号），而分子对应的临界点 $-1$ 可以取到等号（中括号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考函数与不等式板块基础选择题。
2. 结论推广: 一般地，分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}⩾0$ 的标准工业级同解变形方程组恒为： $\{\begin{array}{l}f(x)\cdot g(x)⩾0\\ g(x)\ne 0\end{array}$。始终坚持“先移项通分化零，再变整式注意分母”的原则可稳拿此节分数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形
• 1988-广东理-14 单-不等式的同解变形
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件