2004-天津理-01 单-虚数单位幂

本题导读

本题考查虚数单位 的幂的周期性，以及复数的四则混合运算。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） $\text{i}$ 是虚数单位， $\frac{(-1+\text{i})(2+\text{i})}{{\text{i}}^3}=$ ()

A. $1+\text{i}$　　　　B. $-1-\text{i}$　　　　C. $1+3\text{i}$　　　　D. $-1-3\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简分子：多项式乘法直接展开，再将 ${\text{i}}^2$ 代换为 $-1$ 并合并同类项。
2. 化简分母：利用 $\text{i}$ 幂的周期性，将 ${\text{i}}^3$ 转化为 $-\text{i}$。
3. 分式化简：分子分母同除以 $-\text{i}$ 或同乘以 $\text{i}$，完成最终化简。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：展开并化简分子 $\text{分子}=(-1+\text{i})(2+\text{i})=-2-\text{i}+2\text{i}+{\text{i}}^2$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入得： $\text{分子}=-2+\text{i}-1=-3+\text{i}$

• 第二步：化简分母 根据虚数单位的性质： $\text{分母}={\text{i}}^3={\text{i}}^2\cdot \text{i}=-1\cdot \text{i}=-\text{i}$

• 第三步：求分式复数的值 将分子和分母代回原式中： $\text{原式}=\frac{-3+\text{i}}{-\text{i}}$ 分子分母同时乘以 $\text{i}$ 使得分母实数化： $\text{原式}=\frac{(-3+\text{i})\text{i}}{-\text{i}\cdot \text{i}}=\frac{-3\text{i}+{\text{i}}^2}{-{\text{i}}^2}$ 再次将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入： $\text{原式}=\frac{-3\text{i}-1}{-(-1)}=\frac{-1-3\text{i}}{1}=-1-3\text{i}$

综合上述， (D) 选项符合题意。

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘除运算法则、 ${\text{i}}^2=-1$ 的准确代换。
2. 核心方法：复数代数有理化方法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆符号变号。在化简分母时， ${\text{i}}^3=-\text{i}$，则分式分母为 $-\text{i}$。最后除以 $-\text{i}$ 时，等价于乘以 $\text{i}$，此时注意分子的 $\text{i}\times \text{i}=-1$，不要写错实部的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数学中每年必考的复数基本运算选择题第 1 题。
2. 结论推广: 虚数单位 ${\text{i}}^n$ 的值具有严格以 4 为周期的循环特征： ${\text{i}}^1=\text{i},{\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i},{\text{i}}^4=1$。故对于任意分式 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$， $\frac{1}{{\text{i}}^3}=\frac{1}{-\text{i}}=\text{i}$。直接利用推广结论，本题可化为： $(-3+\text{i})\cdot \text{i}=-3\text{i}-1=-1-3\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1980-全国文-01 解-复数的除法化简
• 1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项