2004-天津文-11 单-长方体截面面积

本题导读

本题考查长方体的截面，以及体积比与截面面积。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=6$，$AD=4$，$A{A}_1=3$.分别过 $BC$、$A_1{D}_1$ 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 $V_1=V_{AE{A}_1-DF{D}_1}$，$V_2=V_{EB{E}_1{A}_1-FC{F}_1{D}_1}$，$V_3=V_{B_1{E}_{1}B-C_1{F}_{1}C}$.若 $V_1:V_2:V_3=1:4:1$，则截面 $A_{1}EF{D}_1$ 的面积为()

A. $4\sqrt{10}$　　　　　　B. $8\sqrt{3}$　　　　　　C. $4\sqrt{13}$　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AE=DF=x$（$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $DC$ 上）。
2. $V_1=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot A{A}_1\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 3\cdot 4=6x$。
3. $V_1:V_2:V_3=1:4:1$ 得 $72-12x=24x$，$x=2$，截面面积 $A_1{D}_1\times \sqrt{A{E}^2+A{A}_1^2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $AE=DF=x$，其中 $E$ 在棱 $AB$ 上、$F$ 在棱 $DC$ 上。三棱柱 $V_1$ 的底面为 $△AE{A}_1$（直角边 $AE=x$、$A{A}_1=3$），面积为 $\frac{1}{2}\cdot x\cdot 3=\frac{3x}{2}$，高为 $AD=4$，故 $V_1=\frac{3x}{2}\times 4=6x$，同理 $V_3=6x$.而 $V_2=AB\cdot AD\cdot A{A}_1-V_1-V_3=6\times 4\times 3-12x=72-12x$.由 $V_1:V_2:V_3=1:4:1$，得 $72-12x=4\cdot 6x=24x$，故 $x=2$.截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是平行四边形，底 $A_1{D}_1=AD=4$，高为 $A_1$ 到 $EF$ 的垂直距离，即 $\sqrt{A{E}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故面积为 $4\sqrt{13}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体截面面积
2. 核心方法：体积比 $V_1:V_2:V_3=1:4:1$，$V_1=V_3$，故 $AE=DF=\frac{AD}{3}$；截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是矩形，长 $A_1{D}_1=\sqrt{4^2+3^2}=5$、宽 $EF$ 由比例定，面积 $4\sqrt{13}$
3. 避坑指南：由体积比定 $AE$ 位置；截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是矩形，面积为长 $\times$ 宽，边长用勾股定理解

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于长方体的截面，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：平行截面把长方体分三部分，体积比定截面位置，截面面积为矩形长乘宽；由体积比定 $AE$，截面 $A_{1}EF{D}_1$ 是矩形，用勾股求边长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直
• 2007-重庆文-20 解-框架围长方体体积最值