本题导读
本题考查函数的应用。核心在于建模代数控算法、分类讨论法/数轴零点分段法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2004年北京卷(理)） 某段城铁线路上依次有 三站， ， ，在列车运行时刻表上，规定列车 8 时整从 站发车，8 时 07 分到达 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 站.在实际运行中，假设列车从 站正点发车，在 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 匀速行驶，列车从 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.
(1)分别写出列车在 两站的运行误差；
(2)若要求列车在 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 的取值范围.
🔍【思路分析】
破题导航
- 统一时间与速度单位：题目给出的距离单位是 ，速度单位是 ，而时刻表和误差采用的是“分钟”。为了代数控算的便利，需要把列车实际行驶的时间转化成以“分钟”为单位。由时间 进行映射。
- 第一问（误差函数构建）：
- 在 站：实际行驶距离 ，实际用时 分钟。时刻表规定用时 7 分钟。误差即为 。
- 在 站：总行驶距离 ，由于中途在 站雷打不动停了 1 分钟，所以实际到达 站的总用时为 分钟。时刻表规定从 8:00 到 8:12 共计 12 分钟。误差即为 ．
- 第二问（绝对值不等式求解）：将两误差相加，建立不等式 。可以通过令 进行换元降维，利用零点分段法去掉绝对值符号进行求解，最后反解出 的取值范围。
✅【答案】
Success
(1) 与
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（1）分别写出列车在 两站的运行误差 列车在行驶时的实际匀速速度为 ，转化成分钟速度为 。
列车到达 站的实际用时与运行误差： 从 站到 站的实际路程为 ，则实际行驶用时为： 时刻表规定 8:00 发车，8:07 到达 站，规定用时为 分钟。 根据运行误差定义，列车在 站的运行误差为实际用时与规定用时之差的绝对值，记为 ：
列车到达 站的实际用时与运行误差： 列车在 站固定停车 1 分钟。从 站经 站到达 站的总实际路程为 。 则实际到达 站的总用时（含中途停车 1 分钟）为： 时刻表规定 8:00 发车，8:12 到达 站，规定总用时为 分钟． 根据运行误差定义，列车在 站的运行误差为，记为 ：
答：列车在 两站的运行误差分别为 和 。
（2）若要求列车在 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 的取值范围 根据题意，两站运行误差之和不超过 2 分钟，列出绝对值不等式：
为了简化运算，观察两项真数的分子具有公因数 180，设中间换元变量： 由于速度 ，故换元参数满足 。
将 和 代入不等式中，转化为标准的双绝对值不等式：
寻找两绝对值项的零点分界点：
下面采用数轴零点分段法分类讨论去掉绝对值：
情形一：当 时 此时 且 ，去掉绝对值符号需变号： 由于 ，此区间内无合理解。
情形二：当 时 此时 且 ： 由于约束条件最大为 ，此区间内亦无合理解。
情形三：当 时 此时 且 ，直接去掉绝对值符号： 综合本段大前提 ，求交集范围得：
补充临界点校验：由于零点断层，重新复核整体函数 落在两零点之外的连续形态。 当且仅当 时，不等式有解。
将中间变量 回代反解自变量 ：
利用倒数性质翻转不等号方向（各项均为正数）：
各项同时乘以 180，计算速度 的最终取值区间：
所以，速度 的取值范围是 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：路程、速度、时间单位（小时与分钟）的等比换算；实际应用题的函数建模能力；零点分段讨论法求解双绝对值不等式。
- 核心方法：变量换元降维法、零点分段分类讨论法。
- 避坑指南：
- 忘记中途停车时间：在求 站实际用时时，很多学生容易漏掉在 站停留的 1 分钟，错写成 。必须严密审题，把列车运行的完整物理过程完整复现。
- 绝对值化简符号弄错：本题解出来的有效区间非常窄（ 到 ），在分类讨论去掉绝对值时，由于带有分数项，稍有不慎就会因符号笔误导致求交集失败。换元法能极大降低因高次分子带来的计算负荷。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学解答题的图表应用大题（第 19 题位置），考查学生应用数学工具解决工业运输与最优化控制的实际控算能力。
- 结论推广: 形如 的绝对值之和函数，图象是一条折线，其最小值必在某个绝对值零点 处取得。
🔗【关联脉络】
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