2004-北京卷理-18 解-抽象函数

本题导读

本题考查分段函数的图象。核心在于归纳递推法、级数错位相消/公式求和法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$ ($i=1,2,\cdots$) 上， $y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一个常数 $k$ 的直线的一部分.

(1)求 $f(0)$ 及 $f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)$ ($i=1,2,\cdots$) 的表达式；

(2)设直线 $x=\frac{1}{2^i}$， $x=\frac{1}{2^{i-1}}$， $x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_i$ ($i=1,2,\cdots$)，记 $S(k)={\lim }_{n\to \infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)$，求 $S(k)$ 的表达式，并写出其定义域和最小值. (注：根据历年真题勘误，第(2)问中“围成的矩形”是指以区间长度为底、以该区间上函数值的下界(或上界，依标准答案解析通常为以左端点处函数值为高的矩形，即阶梯近似面积)构筑的曲边梯形的内接/外切矩形，以下按标准大纲解析规范作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（离散点值递推）：
   • 将 $x=0$ 代入 $f(x)=2f(\frac{x}{2})$ 可直接解出 $f(0)=0$。
   • 将 $x=1$ 代入递推式，结合 $f(1)=1$ 求出 $f(\frac{1}{2})$；以此类推，通过数学归纳法锁定通项 $f(\frac{1}{2^i})=\frac{1}{2^i}$。
2. 第二问（级数求和与定义域约束）：
   • 几何面积级数化：在区间 $\left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$ 上，底边宽为 $\Delta x=\frac{1}{2^{i-1}}-\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^i}$。直线斜率为 $k$，由右端点 $\left(\frac{1}{2^{i-1}},\frac{1}{2^{i-1}}\right)$ 向左延伸，求出左端点处的函数值作为矩形的高。利用等比级数求和公式计算出 $S(k)$。
   • 求解斜率 $k$ 的定义域：由于 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，不仅要求各分段内斜率 $k\ge 0$，还要保证分段连接处的左极限不大于右端点值（即各分段区间内部及跳跃点均单调递增），由此建立不等式组确定 $k$ 的取值范围，进而计算最值。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=2-\frac{x}{2^i}+\left(k-2\right)\left(x-\frac{1}{2^i}\right)$，$x\in \left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$

(2) $k\in [0,1]$

(3) $S(k)=\frac{2-k}{3}$，定义域 $[0,1]$，最小值 $\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $f(0)$ 及 $f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)$ 的表达式 在已知递推关系式 $f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 中： 令 $x=0$，代入得： $f(0)=2f(0)⟹f(0)=0$

已知 $f(1)=1$，将 $x=1$ 代入递推式中： $f(1)=2f\left(\frac{1}{2}\right)⟹1=2f\left(\frac{1}{2}\right)⟹f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

将 $x=\frac{1}{2}$ 代入递推式中： $f\left(\frac{1}{2}\right)=2f\left(\frac{1}{4}\right)⟹\frac{1}{2}=2f\left(\frac{1}{4}\right)⟹f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$

由此依次类推，运用数学归纳法可归纳得出通项表达式： $f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}(i=1,2,\cdots )$

（2）求 $S(k)$ 的表达式，并写出其定义域和最小值 由题意，在每个局部区间 $I_i=\left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$ 上，函数 $y=f(x)$ 是一条斜率为 $k$ 的直线段。 由于该段的右端点包含在区间内，且由第（1）问可知其右端点处的函数值为： $f\left(\frac{1}{2^{i-1}}\right)=\frac{1}{2^{i-1}}$

根据直线的点斜式方程，在该段区间上函数的解析式可表达为： $y-f\left(\frac{1}{2^{i-1}}\right)=k\left(x-\frac{1}{2^{i-1}}\right)⟹y=k\left(x-\frac{1}{2^{i-1}}\right)+\frac{1}{2^{i-1}}$

围成矩形的底边宽度为： $\Delta x_i=\frac{1}{2^{i-1}}-\frac{1}{2^i}=\frac{2-1}{2^i}=\frac{1}{2^i}$ 按曲边梯形阶梯近似的标准定义，矩形的高采用该小区间上的最小函数值（即左端点 $x\to {\frac{1}{2^i}}^{+}$ 处的左极限值）： $h_i=k\left(\frac{1}{2^i}-\frac{1}{2^{i-1}}\right)+\frac{1}{2^{i-1}}=k\left(-\frac{1}{2^i}\right)+\frac{1}{2^{i-1}}=\frac{1}{2^{i-1}}-\frac{k}{2^i}=\frac{2-k}{2^i}$

因此，第 $i$ 个小矩形的单体面积 $a_i$ 为： $a_i=\Delta x_i\times h_i=\frac{1}{2^i}\times \frac{2-k}{2^i}=\frac{2-k}{4^i}=(2-k){\left(\frac{1}{4}\right)}^i$

前 $n$ 项面积和 $S_n$ 为首项为 $a_1=\frac{2-k}{4}$，公比为 $q=\frac{1}{4}$ 的等比数列： $S_n={\sum }_{i=1}^n(2-k){\left(\frac{1}{4}\right)}^i$ 对 $n\to \infty$ 取极限，套用无穷收敛等比级数求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$： $S(k)=\frac{\frac{2-k}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{2-k}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{2-k}{3}$

下面求解常数斜率 $k$ 的严格定义域范围： 已知 $f(x)$ 在整个定义域 $[0,1]$ 上是严格增函数。这意味着两点约束：

1. 区间内部单调递增：每个分段直线的斜率不能为负： $k\ge 0$
2. 分段关卡处的衔接不发生跌落：对于任意区间 $I_i$，其左端点处的极限值 $h_i=\frac{2-k}{2^i}$ 必须大于或等于左侧相邻区间 $I_{i+1}$ 的右端点值 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}$： $\frac{2-k}{2^i}\ge \frac{1}{2^i}⟹2-k\ge 1⟹k\le 1$

综合上述两项单调性核心约束，常数 $k$ 的取值范围（定义域）为： $k\in [0,1]$

求解 $S(k)$ 的最小值： 由于已求得解析式为 $S(k)=\frac{2-k}{3}$，其作为关于 $k$ 的一次线性函数，在定义域 $[0,1]$ 上单调递减。 因此，当 $k$ 取最大边界值 $k=1$ 时， $S(k)$ 取得全局最小值： $S(k{)}_{\min }=S(1)=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$

答： $S(k)=\frac{2-k}{3}$，其定义域为 $[0,1]$，最小值为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由泛函方程归纳离散通项；分段直线在右闭左开区间的方程重构；无穷收敛等比级数的求和极限；函数全局单调性对分段关卡点的不等式约束。
2. 核心方法：归纳递推法、无穷级数矩阵求和法、分段边界夹逼法。
3. 避坑指南：
   • 计算定义域时忽略分段跳跃点的单调性：多数学生只能想到斜率 $k\ge 0$ 这一区间内部条件，从而错把定义域写成 $[0,+\infty )$。必须深刻理解增函数要求任何两点均满足递增。若 $k>1$，会导致当前区间的左端点跌落到左侧相邻区间右端点的下方，在 $x=\frac{1}{2^i}$ 处产生向下的断层跳跃，从而破坏全局单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2004 年高考北京卷理科数学代数压轴题，以构造的抽象函数为背景，考查单调性、奇偶性等函数性质。
2. 结论推广: 对抽象函数，求单调区间可利用单调性的定义，通过设 $x_1<x_2$、作差 $f(x_1)-f(x_2)$ 并判断符号来确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性