2004-北京卷理-13 填-二次函数的图象与最值

本题导读

本题考查二次函数的图象与最值，以及等比中项的代数性质。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 在函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 中，若 $a,b,c$ 成等比数列且 $f(0)=-4$，则 $f(x)$ 有最 $\underline{}$值（填“大”或“小”），且该值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定常数项 $c$：由已知条件 $f(0)=-4$，直接将 $x=0$ 代入函数式即可得到常数项 $c$ 的值。
2. 应用等比中项性质分析开口方向：已知 $a,b,c$ 成等比数列，根据等比中项的性质有 $b^2=ac$。由于 $b^2\ge 0$ 且等比数列中项均不为 $0$，结合已知的 $c<0$，可推导出二次项系数 $a$ 的正负号，从而确定抛物线开口方向（填“大”或“小”）。
3. 计算最值大小：将 $b^2=ac$ 的关系代入二次函数的最值公式（顶点纵坐标公式 $y=\frac{4ac-b^2}{4a}$）或直接配方，完成代数消元求出具体值。

✅【答案】

Success

$大；$-3$$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求出常数项 $c$ 并判定二次项系数 $a$ 的符号 将 $x=0$ 代入二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 中，得： $f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=c$ 由题意已知 $f(0)=-4$，所以： $c=-4$

因为 $a,b,c$ 成等比数列，根据等比数列的性质，等比中项的平方等于前后两项的乘积： $b^2=ac$ 由于等比数列的各项均不为 $0$，故 $b^2>0$，从而有： $ac>0$ 已知 $c=-4<0$，要满足乘积 $ac>0$，则二次项系数 $a$ 必须与 $c$ 同号，即： $a<0$

因为二次项系数 $a<0$，所以二次函数 $f(x)$ 的图象是开口向下的抛物线。 根据抛物线的几何性质，开口向下的函数具有全局最高点，即函数有最大值。

第二步：求二次函数最大值的具体数值 将等比中项公式 $b^2=ac$ 代入二次函数的最值（顶点纵坐标）公式中： $y_{\text{顶}}=\frac{4ac-b^2}{4a}$ $y_{\text{顶}}=\frac{4ac-ac}{4a}=\frac{3ac}{4a}$

因为 $a\ne 0$，可以将分子与分母中的 $a$ 进行约分消去： $y_{\text{顶}}=\frac{3c}{4}$

将已求得的 $c=-4$ 代入上式中： $y_{\text{顶}}=\frac{3\times (-4)}{4}=-3$

所以，该函数的最大值为 $-3$。

故答案为： 大 ； $-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数图象开口方向与二次项系数 $a$ 正负号的对应；等比中项恒等式 $b^2=ac$；二次函数最值的整体消元控算。
2. 核心方法：公式代换消元法。
3. 避坑指南：
   • 最值类型填反：部分学生在得出 $ac>0$ 后，由于惯性思维认为正数对应开口向上、有最小值，从而填了“小”。务必注意由于 $c=-4$ 是负数，导致 $a$ 也是负数，负数对应的抛物线开口向下，应有最大值。
   • 代数计算陷入繁琐：在求解第二空时，不需要分别去求 $a$ 和 $b$ 的具体数值（本题中 $a,b$ 的值不唯一确定），直接利用 $b^2=ac$ 整体代入最值公式消去变量 $a$ 才是最高效的解题路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学填空题的第 13 题。题目将二次函数的顶点最值与等比数列的代数约束相融合，属于考查多分支知识点综合交汇的经典基础技巧题。
2. 结论推广: 本题模型可推广为更一般的二次多项式系数阵列问题。一般地，对于任意二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，若其三项系数满足等比数列关系（公比为 $q\ne 0$），则函数的最值与各项系数的具体大小无关，其仅由常数项 $c$ 的绝对高度以及公比的几何性质唯一确定，其通解最值公式可严格参数化表达为： $y_{\text{最}}=\frac{3}{4}c$ 这一比例恒等关系在抛物线射影几何与二次型矩阵分析中具有独特的平移不变性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积