2004-北京卷理-12 填-参数方程向普通方程的转化

本题导读

本题考查参数方程向普通方程的转化，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 曲线 $C:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=-1+\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数) 的普通方程是 $\underline{}$，如果曲线 $C$ 与直线 $x+y+a=0$ 有公共点，那么实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 消参化简第一空：将参数方程分离出单三角函数项，变形为 $x=\cos \theta$， $y+1=\sin \theta$。利用恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 直接消去参数 $\theta$，得到圆的普通方程。
2. 分析图形几何要素：由求得的普通方程 $x^2+(y+1{)}^2=1$ 提取出曲线 $C$ 为圆，其圆心坐标为 $M(0,-1)$，半径 $R=1$。
3. 构建距离不等式求解第二空：直线与圆有公共点（相切或相交）的充要条件是圆心到该直线的几何距离 $d$ 小于或等于半径 $R$。利用点到直线距离公式列出含参不等式即可解出 $a$。

✅【答案】

Success

$x^2+(y+1{)}^2=1$ ； $[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数 $\theta$ 求解普通方程 已知曲线 $C$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta (1)\\ y=-1+\sin \theta (2)\end{array}$ 将 (2) 式移项整理，将三角项独立分离： $\sin \theta =y+1$

利用同角三角函数的平方和恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，将两式平方相加： $x^2+(y+1{)}^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta$ $x^2+(y+1{)}^2=1$

所以，曲线 $C$ 的普通方程为 $x^2+(y+1{)}^2=1$。

第二步：利用位置关系求解 $a$ 的取值范围 由普通方程可知，曲线 $C$ 是一个标准的圆：

• 圆心坐标为： $M(0,-1)$；
• 圆的半径为： $R=1$。

已知直线方程为 $x+y+a=0$。若圆 $C$ 与该直线有公共点，则说明直线与圆处于相交或相切状态。 根据平面解析几何定理，这等价于圆心 $M(0,-1)$ 到直线 $x+y+a=0$ 的距离 $d$ 满足： $d\le R$

套用点到直线的距离公式计算 $d$： $d=\frac{|1\times 0+1\times (-1)+a|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$

将距离代入不等式 $d\le 1$ 中： $\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}\le 1⟹|a-1|\le \sqrt{2}$

展开去掉绝对值符号，转化为双侧不等式链： $-\sqrt{2}\le a-1\le \sqrt{2}$ 各项同时加上 1，解得实数 $a$ 的取值范围： $1-\sqrt{2}\le a\le 1+\sqrt{2}$

故答案为： $x^2+(y+1{)}^2=1$ ； $[1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}]$ （或写为 $1-\sqrt{2}\le a\le 1+\sqrt{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程消参技术；圆心半径的方程表达；直线与圆相交相切的圆心距离判定法。
2. 核心方法：三角消参法、点线距离几何法。
3. 避坑指南：
   • 漏记圆心坐标符号：在由方程 $x^2+(y+1{)}^2=1$ 提取圆心时，注意纵坐标是 $-1$ 而非 $1$，防止点代错方向。
   • 忽略边界等号状态：题目表述为“有公共点”，包含相切这一临界状态，因此不等式必须使用 $\le$ 号，最终取值范围端点必须包含等号，写成闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学填空题的第 12 题，属于考查参数方程、圆的方程以及割线判定模型的解析几何典型综合中档题。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的圆的参数式表示（Parametric representation of a circle）。一般地，任意圆心为 $(x_0,y_0)$、半径为 $R$ 的圆，其参数方程通式可表达为 $x=x_0+R\cos \theta ,y=y_0+R\sin \theta$。该曲线与一般的线性平面代数图形 $Ax+By+C=0$ 的交截根的存在性问题，通过阿贝尔几何点线公式，可统一推广表达为如下有界闭区间解的形式： $a\in \left[-(A{x}_0+B{y}_0)-R\sqrt{A^2+B^2},-(A{x}_0+B{y}_0)+R\sqrt{A^2+B^2}\right]$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1988-上海-04 填-参数方程化普通方程