2004-北京卷理-07 单-组合数计算公式

本题导读

本题考查组合数计算公式，以及钝角三角形的代数判定。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 从长度分别为 1, 2, 3, 4, 5 的五条线段中, 任取三条的不同取法共有 $n$ 种. 在这些取法中, 以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 $m$, 则 $\frac{m}{n}$ 等于 ()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{10}$　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解总取法种数 $n$：从 5 条不同的线段中任取 3 条，属于标准的不考虑顺序的组合问题，直接套用组合数公式 $C_5^3$。
2. 过滤无法组成三角形的组合：任意三角形的边长必须满足两短边之和严格大于最长边。不满足此基本几何原理的组合应被予以剔除。
3. 筛选出钝角三角形个数 $m$：设三角形三边按从小到大排列为 $a\le b<c$，由余弦定理可知，该三角形为钝角三角形的充要条件为其最大角为钝角，即满足： $a^2+b^2<c^2$ 在所有合法的三角形组合中，逐一核验该代数不等式是否成立，锁定 $m$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总取法种数 $n$ 从长度为 1, 2, 3, 4, 5 的五条线段中，随机不放回地抽取三条，总取法种数 $n$ 为： $n=C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$

这 10 种组合具体列举如下： (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5).

第二步：筛选出合法的三角形组合 根据三角形的三边关系定理（两短边之和必须大于第三边），对上述 10 种取法进行排查：

• (1,2,3)： $1+2=3$（不满足，排除）；
• (1,2,4)： $1+2<4$（不满足，排除）；
• (1,2,5)： $1+2<5$（不满足，排除）；
• (1,3,4)： $1+3=4$（不满足，排除）；
• (1,3,5)： $1+3<5$（不满足，排除）；
• (1,4,5)： $1+4=5$（不满足，排除）。

剩余能构成三角形的组合有且仅有以下 4 种： $(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)$

第三步：筛选出钝角三角形的个数 $m$ 对于任意给定的三边 $a,b,c$ （满足 $a<b<c$），由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 可知，当最大角 $C$ 为钝角时， $\cos C<0⟹a^2+b^2<c^2$。 我们对上述 4 种合法三角形方案进行代数关系验证：

1. 对于组合 (2,3,4)： $2^2+3^2=4+9=13$ $4^2=16$ 因为 $13<16⟹2^2+3^2<4^2$，此组合是钝角三角形。

2. 对于组合 (2,3,5)： 因为 $2+3=5$，最长边等于两短边之和，无法围成三角形，本项属于无效退化。

3. 对于组合 (2,4,5)： $2^2+4^2=4+16=20$ $5^2=25$ 因为 $20<25⟹2^2+4^2<5^2$，此组合是钝角三角形。

4. 对于组合 (3,4,5)： $3^2+4^2=9+16=25$ $5^2=25$ 因为 $25=25⟹3^2+4^2=5^2$，此组合为标准的直角三角形（不合题意）。

综上分析，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形只有 (2,3,4) 和 (2,4,5) 两种。 即： $m=2$

第四步：求解最终比值 $\frac{m}{n}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基础组合数模型 $C_n^m$；三角形边长存续性的判定约束；利用边长平方和判定三角形锐、直、钝角性态。
2. 核心方法：完全穷举筛选法。
3. 避坑指南：
   • 漏掉三角形存在性校验：部分学生直接对 10 种初始组合套用 $a^2+b^2<c^2$，例如错将 (1,2,4) 算作钝角三角形（$1^2+2^2=5<4^2=16$）。切记能谈论锐钝角的前提是该组合必须首先是一个几何上闭合的有效三角形。
   • 错将直角三角形计入：在判定 (3,4,5) 组合时，严格满足平方和相等，为直角三角形。题目要求的是“钝角”，属于严格不等号关系，必须予以排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第七道选择题。题目将初等排列组合与几何三角形分类模型有机融合，重点考查了分类讨论与严密穷举的代数细致度。
2. 结论推广: 本题中用于判定三角形形状的规律可推广为毕达哥拉斯不等式分类定理（Pythagorean Inequalities）。在任意已知三边 $a\le b\le c$ 的非退化三角形中：
   • $a^2+b^2>c^2⟺$ 该三角形为锐角三角形；
   • $a^2+b^2=c^2⟺$ 该三角形为直角三角形；
   • $a^2+b^2<c^2⟺$ 该三角形为钝角三角形。 这一代数不等式链构成了在无需计算任何具体三角函数值的条件下，直接对三维向量夹角正负性实施定性矩阵分类的重要工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-08 解-余弦定理测距
• 2008-安徽文-05 单-余弦定理求角
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形