2004-北京卷理-04 单-空间两点及点线距离

本题导读

本题考查空间两点及点线距离，以及抛物线的几何定义。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $P$ 是侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $BC$ 与直线 $C_1{D}_1$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹所在的曲线是 ()

A. 直线　　　　　B. 圆　　　　　C. 双曲线　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离：由于点 $P$ 本身就在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，而直线 $BC$ 也在该侧面上，所以点 $P$ 到直线 $BC$ 的空间距离就是其在该平面内的平面几何距离。
2. 转化点 $P$ 到直线 $C_1{D}_1$ 的距离：由于 $C_1{D}_1\perp$ 侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$，根据线面垂直的性质，直线 $C_1{D}_1$ 上任意一点到该侧面的投影都是点 $C_1$。因此，动点 $P$ 到空间直线 $C_1{D}_1$ 的距离可以转化为平面内点 $P$ 到定点 $C_1$ 的距离。
3. 匹配圆锥曲线定义：将上述两个距离关系联立，条件转化为“侧面内动点 $P$ 到定点 $C_1$ 的距离等于它到定直线 $BC$ 的距离”，直接对应抛物线的几何定义。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，动点 $P$ 位于侧面平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内。

1. 对于点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离： 因为直线 $BC\subset$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，所以动点 $P$ 到空间直线 $BC$ 的距离即为平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内点到直线的距离，记为 $d(P,BC)$。

2. 对于点 $P$ 到直线 $C_1{D}_1$ 的距离： 在正方体中，棱 $C_1{D}_1\perp$ 棱 $B_1{C}_1$，且 $C_1{D}_1\perp$ 棱 $C{C}_1$。 因为 $B_1{C}_1\cap C{C}_1=C_1$，且 $B_1{C}_1,C{C}_1\subset$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$， 所以由线面垂直的判定定理可得：直线 $C_1{D}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。

   由于直线 $C_1{D}_1$ 垂直于动点 $P$ 所在的平面，且垂足为点 $C_1$。 根据空间点线距离的几何意义，自点 $P$ 向直线 $C_1{D}_1$ 引垂线段，其垂足必然为垂足点 $C_1$。 因此，动点 $P$ 到空间直线 $C_1{D}_1$ 的距离，在数值上恒等于平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内点 $P$ 到定点 $C_1$ 的距离，即为 $|P{C}_1|$。

3. 轨迹判定： 题目已知条件为：点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离等于点 $P$ 到直线 $C_1{D}_1$ 的距离。 将上述几何转换代入该等量关系中，可得： $|P{C}_1|=d(P,BC)$

   这说明在平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，动点 $P$ 到定点 $C_1$ 的距离等于它到不经过该定点的定直线 $BC$ 的距离。 根据平面解析几何中抛物线的第二定义（平面内到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点为焦点，定直线为准线），动点 $P$ 的轨迹所在的曲线是一条以 $C_1$ 为焦点、 $BC$ 为准线的抛物线。

故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与几何投影性质；空间点线距离向平面距离的降维转化；抛物线的几何核心定义。
2. 核心方法：线面垂直投影法、几何定义匹配法。
3. 避坑指南：
   • 无法破除三维空间思维障碍：部分学生容易将空间直线 $C_1{D}_1$ 与 $BC$ 误看作两平行线，从而主观认为轨迹是一条居中的平行直线，错选 A。解题关键在于看清 $C_1{D}_1$ 与侧面正交垂直，必须通过“线面垂直 $⟹$ 距离转化为到垂足的距离”这一关键纽带实现降维。
   • 错将准线看作通过焦点：注意焦点 $C_1$ 并不在准线 $BC$ 上，确保了轨迹符合非退化的标准抛物线定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第四道选择题。题目将典型的立体几何线面垂直构型与解析几何中的圆锥曲线定义相结合，是考查学生数形结合与空间降维思维的经典拔高题。
2. 结论推广: 本题模型可进一步一般化推广。在空间中，若动点 $P$ 限定在平面 $\alpha$ 内，定直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 且垂足为 $O$，定直线 $m$ 落在平面 $\alpha$ 内且不经过点 $O$。则满足“点 $P$ 到直线 $l$ 的距离等于到直线 $m$ 的距离”的动点轨迹，在平面 $\alpha$ 内恒为以 $O$ 为焦点、 $m$ 为准线的抛物线。该模型构成了立体几何与二次曲线交汇的一大核心命题母题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1989-广东文-32 解-线面角与距离
• 1989-广东理-31 解-线面角与距离