2004-全国卷IV理-21 解-直线的截距式方程与一般式方程

本题导读

本题考查点到直线的距离公式。核心在于坐标公式代数化简法、齐次化构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>1,b>0)$ 的焦点距为 $2c$，直线 $l$ 过点 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，且点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离与点 $(-1,0)$ 到直线 $l$ 的距离之和 $s⩾\frac{4}{5}c$. 求双曲线的离心率 $e$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出直线 $l$ 的方程：已知直线 $l$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为 $a$ 和 $b$，可直接写出其截距式方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，再将其化为一般式。
2. 表达距离之和 $s$ 并去绝对值：利用点到直线的距离公式分别写出点 $(1,0)$ 和点 $(-1,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d_1$ 和 $d_2$。在相加化简时，需根据已知条件 $a>1$ 讨论绝对值符号的去留。
3. 齐次化消元求离心率：将 $s⩾\frac{4}{5}c$ 转化为代数不等式，利用双曲线中 $b^2=c^2-a^2$ 以及分母上的 $a^2+b^2=c^2$ 进行整体代换，使不等式两边只含有 $a$ 与 $c$，最后两边同除以 $c$ 引入离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求解。

✅【答案】

Success

双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 且 $e\in \left[\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求直线 $l$ 的方程 因为直线 $l$ 过点 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，由直线的截距式方程可得： $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 去分母化为一般式方程： $bx+ay-ab=0$

• 第二步：利用点到直线距离公式表示 $s$ 根据点到直线的距离公式，点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d_1=\frac{|b\times 1+a\times 0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 点 $(-1,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d_2=\frac{|b\times (-1)+a\times 0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-b-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b+ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

  因为 $a>1,b>0$，所以 $ab>b⟹b-ab<0$， 且 $b+ab>0$。 去掉绝对值符号可得： $|b-ab|=ab-b,|b+ab|=ab+b$ 因此，距离之和 $s$ 为： $s=d_1+d_2=\frac{(ab-b)+(ab+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• 第三步：结合双曲线几何性质进行代数齐次化 在双曲线中，基本参数满足平方恒等式 $a^2+b^2=c^2$，代入上式分母中： $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{c^2}=c$ 所以，距离之和可简化为： $s=\frac{2ab}{c}$

  已知 $s⩾\frac{4}{5}c$，代入化简后的 $s$ 得： $\frac{2ab}{c}⩾\frac{4}{5}c$ 因为 $c>0$，两边同乘以 $c$ 并约去系数 2 得到： $ab⩾\frac{2}{5}{c}^2$ 两边同时平方（因两边均为正数，不等号方向不变）： $a^2{b}^2⩾\frac{4}{25}{c}^4$

  利用双曲线关系式 $b^2=c^2-a^2$ 消去变量 $b$： $a^2(c^2-a^2)⩾\frac{4}{25}{c}^4⟹a^2{c}^2-a^4⩾\frac{4}{25}{c}^4$

• 第四步：构造离心率 $e$ 的一元二次不等式求解 在上式两边同时除以 $c^4$（因为 $c>0⟹c^4>0$）： $\frac{a^2}{c^2}-\frac{a^4}{c^4}⩾\frac{4}{25}$ 根据双曲线离心率定义 $e=\frac{c}{a}⟹\frac{a}{c}=\frac{1}{e}$，代入上式中： $\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e^4}⩾\frac{4}{25}$

  令 $t=\frac{1}{e^2}$。因为双曲线的离心率 $e>1$，所以 $t\in (0,1)$。 不等式转化为： $t-t^2⩾\frac{4}{25}⟹t^2-t+\frac{4}{25}⩽0$ 两边同乘以 25 得： $25t^2-25t+4⩽0$ 进行十字相乘因式分解： $(5t-1)(5t-4)⩽0$ 解得 $t$ 的取值范围为： $\frac{1}{5}⩽t⩽\frac{4}{5}$

  将 $t=\frac{1}{e^2}$ 代回不等式链中： $\frac{1}{5}⩽\frac{1}{e^2}⩽\frac{4}{5}$ 取倒数（不等号方向反转）： $\frac{5}{4}⩽e^2⩽5$ 由于 $e>1$，两边同时开平方根，解得： $\frac{\sqrt{5}}{2}⩽e⩽\sqrt{5}$

综上所述，双曲线离心率 $e$ 的取值范围为 $\left[\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：截距式方程、点到直线距离的绝对值化简、双曲线中 $a^2+b^2=c^2$ 的代换、离心率齐次化构造。
2. 核心方法：元代换法（令 $t=\frac{1}{e^2}$ 降次）。
3. 避坑指南：
   • 去绝对值号时必须紧扣已知条件 $a>1$。有同学不加讨论直接将 $|b-ab|$ 写作 $b-ab$，由于其本质为负数，直接去掉绝对值符号会导致后续多项式彻底算错。
   • 双曲线的特征三角形恒等式为 $c^2=a^2+b^2$，这与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$ 恰好相反，必须准确运用到分母 $\sqrt{a^2+b^2}=c$ 的化简中。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考解析几何圆锥曲线大题，属于考查双曲线基本几何性质与初等代数不等式交汇的压轴梯队题。
2. 结论推广: 一般地，若过双曲线实顶点 $(a,0)$ 与虚端点 $(0,b)$ 的直线与 $x$ 轴上关于原点对称的两点 $(\pm d,0)$ 的距离之和满足关系 $s=f(a,b)$，其解析核心永远是借助分母上的自变量关系式 $a^2+b^2=c^2$ 实现空间分母的有理化归一，从而达成一元高次方程的降维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-03 单-直线的截距
• 1988-广东理-01 单-直线的截距
• 1952-全国-19 填-原点到直线的距离