2004-全国卷IV理-20 解-二面角的平面角及其应用

本题导读

本题考查二面角的平面角及其应用。核心在于几何法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $AB=8,AD=4\sqrt{3}$，侧面 $PAD$ 为等边三角形，并且与底面所成二面角为 $60^{\circ }$.

(1) 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积；

(2) 证明： $PA\perp BD$.

🔍【思路分析】

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1. 找二面角的平面角并求高： 取 $AD$ 的中点 $E$，连接 $PE$。因 $△PAD$ 是等边三角形，故 $PE\perp AD$。过 $P$ 作底面的垂线 $PO$，垂足为 $O$，连接 $OE$，则可证 $\angle PEO$ 即为侧面 $PAD$ 与底面所成二面角的平面角，大小为 $60^{\circ }$。在 $\text{Rt}△POE$ 中即可求出棱锥的高 $PO$ 及 $OE$ 的长，从而确定高并判定点 $O$ 落在矩形的对称轴上。
2. 体积计算：底面是矩形，面积 $S=AB\times AD$，直接套用 $V=\frac{1}{3}S\cdot h$ 求解。
3. 线线垂直证明：
   • 几何法：要证 $PA\perp BD$，由于 $PA$ 在底面上的投影为 $OA$，若能通过底面边长勾股定理逆定理或正切值证得 $OA\perp BD$，根据三垂线定理即可完成证明。
   • 向量法：以 $O$ 为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，验证向量数量积 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 即可。

✅【答案】

Success

(1) $96\sqrt{3}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积：

取 $AD$ 的中点 $E$，连接 $PE$。 因为 $△PAD$ 是等边三角形，且 $AD=4\sqrt{3}$， 所以 $PE\perp AD$，且侧高 $PE=AD\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$。

过顶点 $P$ 作底面 $ABCD$ 的垂线，垂足为 $O$，即 $PO\perp \text{平面 }ABCD$。 连接 $OE$。因为 $PO\perp \text{平面 }ABCD$ 且 $AD\subset \text{平面 }ABCD$，所以 $PO\perp AD$。 又因为 $PE\perp AD$， $PE\cap PO=P$，所以 $AD\perp \text{平面 }POE$，从而可得 $AD\perp OE$。 因此， $\angle PEO$ 就是侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，即 $\angle PEO=60^{\circ }$。

在 $\text{Rt}△POE$ 中， $\angle POE=90^{\circ },\angle PEO=60^{\circ }$： 棱锥的高 $PO=PE\cdot \sin 60^{\circ }=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$； 底面投影线段 $OE=PE\cdot \cos 60^{\circ }=6\times \frac{1}{2}=3$。

由于底面 $ABCD$ 为矩形，且 $OE\perp AD$， $E$ 为 $AD$ 中点， 所以点 $O$ 必在线段 $E$ 经过且平行于 $AB$ 的矩形中心对称轴上。 底面矩形的面积为： $S_{ABCD}=AB\times AD=8\times 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}$ 因此，四棱锥 $P-ABCD$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{ABCD}\times PO=\frac{1}{3}\times 32\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=96$

(2) 证明： $PA\perp BD$.

方法一：三垂线定理（平面几何辅助证明） 由第 (1) 问可知， $PO\perp \text{平面 }ABCD$，故 $OA$ 是斜线 $PA$ 在底面 $ABCD$ 上的射影。 要证 $PA\perp BD$，只需证其在底面上的射影 $OA\perp BD$ 即可。

以 $O$ 为原点， $OE$ 所在直线为 $y$ 轴，过 $O$ 平行于 $AD$ 的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。 由于 $AD=4\sqrt{3},E$ 为中点，则 $AE=2\sqrt{3}$。因为 $OE=3,AB=8$，所以 $O$ 到 $AB$ 的距离为 $8-3=5$。 可得各点平面坐标为： $A(2\sqrt{3},3)$， $B(2\sqrt{3},-5)$， $D(-2\sqrt{3},3)$。 则点 $O(0,0)$。 计算向量： $\overrightarrow{OA}=(2\sqrt{3},3)$ $\overrightarrow{BD}=D-B=(-2\sqrt{3}-2\sqrt{3},3-(-5))=(-4\sqrt{3},8)$ 计算数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BD}=2\sqrt{3}\times (-4\sqrt{3})+3\times 8=-24+24=0$ 因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，所以 $OA\perp BD$。 又因为 $PO\perp \text{平面 }ABCD$， $OA$ 是 $PA$ 在平面内的射影， 根据三垂线定理，由 $OA\perp BD$ 可得 $PA\perp BD$。

方法二：空间向量法（全流程坐标化） 以 $O$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$，使 $x$ 轴平行于 $DA$（由 $O$ 指向 $A$ 的平行方向）， $y$ 轴平行于 $AB$（由 $O$ 指向 $E$ 的反方向）， $z$ 轴与 $OP$ 重合。 由此可得相关点的空间坐标： $O(0,0,0),P(0,0,3\sqrt{3})$ $A(2\sqrt{3},3,0),B(2\sqrt{3},-5,0),D(-2\sqrt{3},3,0)$

进而得出向量： $\overrightarrow{PA}=(2\sqrt{3}-0,3-0,0-3\sqrt{3})=(2\sqrt{3},3,-3\sqrt{3})$ $\overrightarrow{BD}=(-2\sqrt{3}-2\sqrt{3},3-(-5),0-0)=(-4\sqrt{3},8,0)$

计算空间向量的数量积： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{BD}=2\sqrt{3}\times (-4\sqrt{3})+3\times 8+(-3\sqrt{3})\times 0$ $=-24+24+0=0$ 因为数量积为 0，所以 $\overrightarrow{PA}\perp \overrightarrow{BD}$，即 $PA\perp BD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二面角的定义与平面角的作法、勾股定理空间形态、空间向量数量积。
2. 核心方法：垂面转换法、空间直角坐标系建系消元法。
3. 避坑指南：
   • 作高时不要主观认为垂足 $O$ 会落在矩形对角线交点或矩形边上。必须严格依靠二面角平面角关系推导算出 $OE=3$，再根据 $AB=8$ 的长度，判定 $O$ 落在底面矩形内部偏向 $AD$ 边的对称轴位置。
   • 用向量法时，各点坐标一定要仔细核对正负号。若将 $B$ 点的 $y$ 轴坐标错写成正数，会导致最终数量积不为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考立体几何解答题。
2. 结论推广: 一般地，若四棱锥底面为矩形，侧面 $PAD\perp$ 底面（或成固定二面角），当侧面为等腰/等边三角形时，顶点在底面的投影线必为底面的对称轴。此时若满足特殊的边长比例关系，利用三垂线定理或建系法均能有效将“异面直线垂直”转化为底面“射影直线垂直”来处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积
• 1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直