2004-全国卷IV理-18 解-导数的几何意义与运算

本题导读

本题考查导数的几何意义与运算。核心在于导数构造单调性法、极值与端点值比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 求函数 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{1}{4}{x}^2$ 在 $[0,2]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导并化简导函数：对原函数 $f(x)$ 进行求导，利用复合函数求导法则将 $f^{\prime }(x)$ 通分，化为分子分母均为初等代数式的分式结构。
2. 判定单调性与极值：令 $f^{\prime }(x)=0$，求出在定义域及指定闭区间 $[0,2]$ 内的驻点。根据导函数在驻点两侧的正负号，确定函数的单调递增与递减区间。
3. 计算并比较特征值：算出极值点处的函数值以及区间两端点 $x=0,x=2$ 处的函数值，比较大小得出结论。

✅【答案】

Success

最大值为 $\ln 2-\frac{1}{4}$，最小值为 $0$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：对函数求导并求驻点 已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{1}{4}{x}^2$，其定义域为 $\{x|x>-1\}$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}x$ 将导函数进行通分化简： $f^{\prime }(x)=\frac{2-x(1+x)}{2(1+x)}=\frac{2-x-x^2}{2(1+x)}=\frac{-(x^2+x-2)}{2(1+x)}$ 分子进行因式分解： $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+2)(x-1)}{2(1+x)}$

  令 $f^{\prime }(x)=0$，解得： $x_1=-2,x_2=1$ 因为要求的区间为 $[0,2]$，其中只有驻点 $x=1$ 落在该区间内。

• 第二步：列表分析单调性 由于当 $x\in [0,2]$ 时，分母 $2(1+x)>0$ 恒成立，故导函数的正负号完全由分子 $-(x+2)(x-1)$ 决定：

  • 当 $0⩽x<1$ 时， $x-1<0$，则 $f^{\prime }(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增；
  • 当 $1<x⩽2$ 时， $x-1>0$，则 $f^{\prime }(x)<0$，此时 $f(x)$ 单调递减。

  根据上述分析，列出函数在 $[0,2]$ 上的变化状态表：

$x$	$0$	$(0,1)$	$1$	$(1,2)$	$2$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\ln 1$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	$\ln 3-1$

• 第三步：计算各节点数值并确定最值 由表可知，唯一极值点 $x=1$ 是区间内的绝对极大值点。 因此，最大值为： $f(1)=\ln (1+1)-\frac{1}{4}\times 1^2=\ln 2-\frac{1}{4}$

  最小值必然在区间的左、右两个端点 $x=0$ 或 $x=2$ 处取得，分别计算其函数值：

  • 当 $x=0$ 时， $f(0)=\ln 1-0=0$；
  • 当 $x=2$ 时， $f(2)=\ln (1+2)-\frac{1}{4}\times 2^2=\ln 3-1$。

  比较 $f(0)$ 与 $f(2)$ 的大小： 因为 $\text{e}<3<{\text{e}}^2$，所以 $1<\ln 3<2⟹\ln 3-1>0$。 由此可得 $f(2)>f(0)$。 所以，最小值为 $f(0)=0$。

综上所述，函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最大值为 $\ln 2-\frac{1}{4}$，最小值为 0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数通分及因式分解、利用单调性表分析先增后减模型、对数数值大小估算。
2. 核心方法：单调性列表检验法。
3. 避坑指南：
   • 通分时切勿丢掉分母或弄错分子的符号。分子 $-x^2-x+2$ 提取负号变为 $-(x^2+x-2)$，若变号发生失误，会导致整个单调区间黑白颠倒。
   • 找最小值时不能主观臆断，必须严格比大小。算出 $\ln 3-1$ 后，需要通过常规对数常识 $\ln 3>\ln \text{e}=1$ 确定其大于 0，从而严谨判定 0 才是两个端点中的绝对极小者。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典导数应用题，属于微积分在初等数学函数最值研究中的标准化大题流程。
2. 结论推广: 本题本质上是借助多项式控制超越函数（对数函数）的边界。一般地，在区间 $[0,+\infty )$ 上，函数 $g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{1}{2}{x}^2$ 等式链具有丰富的泰勒级数展开背景，而本题通过改变系数 $\frac{1}{4}$ 构造出完美的单峰极值图景。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-辽宁-12 解-圆柱用料最省
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性