2004-全国卷IV理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^8$ 展开式中 $x^5$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：根据二项式定理，写出 ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^8$ 的通用展开项 $T_{r+1}$。注意将第二项连同负号写为 $\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)$ 的形式。
2. 合并指数幂：将通项公式中的自变量 $x$ 提取合并，化简为 $C_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{f(r)}$ 的标准形式。
3. 列方程求解 $r$：令 $f(r)=5$，求出对应的非负整数 $r$，最后代入常数部分计算出系数。

✅【答案】

Success

$28$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由二项式展开式的通项公式， ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^8$ 展开式的第 $r+1$ 项为： $T_{r+1}=C_8^r\cdot x^{8-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r(0⩽r⩽8,r\in \mathbf{N})$

将其中的根式化为分数指数幂形式： ${\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r={\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r=(-1{)}^r\cdot x^{-\frac{r}{2}}$

代回通项公式并合并同底数幂： $T_{r+1}=C_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{8-r}\cdot x^{-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{8-r-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot (-1{)}^r\cdot x^{8-\frac{3}{2}r}$

题目要求 $x^5$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 5： $8-\frac{3}{2}r=5$ 移项化简得： $\frac{3}{2}r=3⟹r=2$

将 $r=2$ 代入通项的常数项部分，得到 $x^5$ 的系数为： $\text{系数}=C_8^2\cdot (-1{)}^2=\frac{8\times 7}{2\times 1}\times 1=28$

答：28

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式、分数指数幂的运算法则。
2. 核心方法：指数方程待定系数法。
3. 避坑指南：
   • 切勿漏掉第二项前面的负号。在写二项式通项时，必须把 $\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ 整体视为项 $b$，漏掉 $(-1{)}^r$ 会导致在 $r$ 为奇数时符号算反（本题 $r=2$ 为偶数，若粗心漏掉负号虽侥幸数字正确，但必须养成严谨的代数习惯）。
   • 合并指数时要仔细， $8-r-\frac{r}{2}$ 极易错算成 $8-\frac{1}{2}r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典二项式定理常考基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于 ${\left(A{x}^p+B{x}^q\right)}^n$ 形式的二项展开式，求 $x^m$ 的系数，其对应项的序数 $r$ 永远满足一元线性方程： $p(n-r)+qr=m$。本题中 $p=1,q=-\frac{1}{2},n=8,m=5$，代入即得 $1(8-r)-\frac{1}{2}r=5⟹r=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理
• 2015-陕西卷理-04 单-二项式定理