2004-全国卷IV理-08 单-抛物线与焦点坐标

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及离心率公式的应用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 已知椭圆的中心在原点，离心率 $e=\frac{1}{2}$，且它的一个焦点与抛物线 $y^2=-4x$ 的焦点重合，则此椭圆方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{2}+y^2=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求抛物线的焦点：已知抛物线标准方程为 $y^2=-4x$，开口向左，其焦点在 $x$ 轴的负半轴上。根据标准形式 $y^2=-2px$，对应出 $2p=4⟹p=2$，即可求出其焦点坐标。
2. 定位椭圆基本量：由于椭圆的一个焦点与该抛物线焦点重合，这不仅确定了椭圆的焦点在 $x$ 轴上（即长轴在 $x$ 轴上），而且直接锁定了椭圆的半焦距 $c$ 的绝对值。
3. 联立方程求 $a,b$：利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 算出长半轴 $a$ 的值，再利用特征恒等式 $b^2=a^2-c^2$ 算出短半轴平方 $b^2$，从而写出对应的椭圆方程。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先分析抛物线方程 $y^2=-4x$： 该抛物线是以 $x$ 轴为对称轴、开口向左的标准抛物线，其标准形式为 $y^2=-2px(p>0)$。 由此可得： $-2p=-4⟹p=2⟹\frac{p}{2}=1$ 所以，该抛物线的焦点坐标为： $F(-1,0)$

因为椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合， 所以椭圆的焦点也在 $x$ 轴上，其左焦点为 $F_1(-1,0)$，从而得到椭圆的半焦距： $c=1$

已知椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$，根据离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 可得： $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2⟹a^2=4$

根据椭圆中基本量 $a,b,c$ 的几何方差恒等式 $b^2=a^2-c^2$，代入数据计算短半轴的平方： $b^2=2^2-1^2=4-1=3$

因为椭圆的焦点在 $x$ 轴上，所以其标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。 将 $a^2=4,b^2=3$ 代入，得到该椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点坐标公式（向左开口为 $\left(-\frac{p}{2},0\right)$）、椭圆离心率定义、椭圆平方恒等式 $b^2=a^2-c^2$。
2. 核心方法：共焦点条件转化法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆抛物线不同开口方向的焦点计算位置。如果错把 $y^2=-4x$ 记成了焦点在 $y$ 轴上，或者是把负号漏掉算成 $x$ 轴正半轴上的 $(1,0)$，虽然由于对称性 $c=1$ 的数值没变，但是在处理长短轴方向时极易发生混乱。
   • 严格区分椭圆与双曲线的平方特征恒等式。在椭圆中 $a^2=b^2+c^2⟹b^2=a^2-c^2$；而在双曲线中 $c^2=a^2+b^2$。部分同学由于公式记串，误用 $b^2=a^2+c^2=4+1=5$，导致算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何圆锥曲线跨类目结合（椭圆+抛物线）方程求解基础题。
2. 结论推广: 一般地，若长轴在 $x$ 轴上的标准椭圆与抛物线 $y^2=-2px$（或 $y^2=2px$）共焦点，且椭圆离心率为 $e$，则该椭圆的方程可由 $p$ 和 $e$ 的表达式直接表达为： $\frac{x^2}{{\left(\frac{p}{2e}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{p}{2e}\right)}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量