2004-全国卷IV理-07 单-空间点、线、面的位置关系

本题导读

本题考查空间点，以及线面平行的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 对于直线 $m$、 $n$ 和平面 $\alpha$，下面命题中的真命题是 ()

A. 如果 $m\subset \alpha ,n\not\subset \alpha ,m,n$ 是异面直线，那么 $n\parallel \alpha$

B. 如果 $m\subset \alpha ,n\not\subset \alpha ,m,n$ 是异面直线，那么 $n$ 与 $\alpha$ 相交

C. 如果 $m\subset \alpha ,n\parallel \alpha ,m,n$ 共面，那么 $m\parallel n$

D. 如果 $m\parallel \alpha ,n\parallel \alpha ,m,n$ 共面，那么 $m\parallel n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析选项 (A) 和 (B)：前提条件是 $m\subset \alpha ,n\not\subset \alpha$，且 $m,n$ 异面。此时直线 $n$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系只有两种可能：要么 $n\parallel \alpha$，要么 $n$ 与 $\alpha$ 相交。因为这两种情况都能在长方体模型中找到实例，所以单独断定 $n\parallel \alpha$ 或单独断定 $n$ 与 $\alpha$ 相交都是片面的（假命题）。
2. 分析选项 (C)： $m\subset \alpha ,n\parallel \alpha$，且 $m,n$ 共面。根据线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，则过该直线的任何平面与该平面的交线都与该直线平行。这里的共面确定了一个新平面 $\beta$，交线就是 $m$，所以必有 $m\parallel n$（真命题）。
3. 分析选项 (D)：两直线均平行于平面 $\alpha$，且两直线共面。它们在共同的平面内可能平行，也可能相交。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 为了严谨直观判定各命题的真伪，我们可以借助经典的长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 模型进行反例构建与定理分析：

• 针对选项 (A) 和 (B)： 令平面 $\alpha$ 为长方体的底面 $ABCD$，直线 $m$ 为棱 $AB$（此时 $m\subset \alpha$）。

  • 选一条直线 $n_1$ 为棱 $A_1{D}_1$，显然 $n_1\not\subset \alpha$，且 $AB$ 与 $A_1{D}_1$ 是异面直线。此时 $A_1{D}_1\parallel \text{平面 }ABCD$，即 $n_1\parallel \alpha$，这说明 $n$ 与 $\alpha$ 可以平行，故 (B) 命题为假。
  • 另选一条直线 $n_2$ 为棱 $C{C}_1$，显然 $n_2\not\subset \alpha$，且 $AB$ 与 $C{C}_1$ 也是异面直线。但此时 $C{C}_1$ 与平面 $ABCD$ 相交于点 $C$，即 $n$ 与 $\alpha$ 相交，这说明 $n$ 与 $\alpha$ 可以相交，故 (A) 命题为假。

• 针对选项 (C)： 因为 $n\parallel \alpha$，且 $m,n$ 共面，设 $m,n$ 确定的平面为 $\beta$。 此时平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 拥有公共点（因为 $m\subset \alpha$ 且 $m\subset \beta$），所以平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 必然相交，且交线就是直线 $m$。 根据线面平行的性质定理：若一条直线 $n$ 平行于平面 $\alpha$，过直线 $n$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于交线 $m$，则该直线平行于交线，即： $n\parallel m⟹m\parallel n$ 故 (C) 命题恒为真。

• 针对选项 (D)： 令平面 $\alpha$ 为长方体的上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。 在下底面 $ABCD$ 内取两条相交直线，如 $m=AB,n=AD$。 因为 $AB\parallel A_1{B}_1⟹AB\parallel \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1⟹m\parallel \alpha$； 因为 $AD\parallel A_1{D}_1⟹AD\parallel \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1⟹n\parallel \alpha$； 且 $AB,AD$ 都在底面 $ABCD$ 内，满足 $m,n$ 共面。但此时 $AB$ 与 $AD$ 相交于点 $A$，并不平行。 故 (D) 命题为假。

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质定理、空间任意两直线的位置关系判定。
2. 核心方法：长方体模型反例排除法、立体几何性质定理直接推导法。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆“线面平行的性质定理”与“线面平行的判定定理”。性质定理的前提必须是线平行于面（如 C 选项），才能导出线线平行；而判定定理是以线线平行作为基础，去判定线面平行。
   • 处理立体几何选择题时，长方体（或正方体）是最强大的反例生成器。当无法在脑海中抽象出虚空线条时，把它们分别安置在课桌或标准长方体的各个棱上，交、错、平、漏等关系立刻一目了然。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典立体几何点线面位置关系的基本概念判定题。
2. 结论推广: 空间中平行具有传递性（$a\parallel b,b\parallel c⟹a\parallel c$），线面平行在单交线平面内具有保向性（即性质定理）。但若两直线同时平行于一个平面，它们在空间中可平行、可相交、可异面，没有任何确定性的约束关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2023-乙卷理-19 解-立几综合
• 2023-天津卷-17 解-立几综合
• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直