2004-全国卷IV理-05 单-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 不等式 $\frac{x(x+2)}{x-3}<0$ 的解集为 ()

A. $\{x|x<-2\text{ 或 }0<x<3\}$　　　　B. $\{x|-2<x<2\text{ 或 }x>3\}$

C. $\{x|x<-2\text{ 或 }x>0\}$　　　　　　D. $\{x|x<0\text{ 或 }x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价化归：分式不等式 $\frac{N(x)}{D(x)}<0$ 的符号决定于分子与分母的乘积符号。在分母不为零（即 $x-3\ne 0$）的前提下，原式完全等价于高次整式不等式 $x(x+2)(x-3)<0$。
2. 数轴穿根法：找出多项式的全部零点 $-2,0,3$，在数轴上由小到大依次标出，从最右侧上方开始由右向左依次穿过各个零点（奇过偶回），最终选取图形位于数轴下方（即 $<0$）的对应区间。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据实数除法的符号法则，商为负数等价于积为负数且分母不为零。 因此，原分式不等式 $\frac{x(x+2)}{x-3}<0$ 恒等价于以下整式多项式不等式组： $x(x+2)(x-3)<0\text{且}x-3\ne 0$

采用数轴穿根法求解：

• 第一步：求根定点 令 $x(x+2)(x-3)=0$，解得对应的三个零点分别为： $x_1=-2,x_2=0,x_3=3$ 在数轴上按从小到大的顺序标出这三个点，将数轴分为四个区间： $(-\infty ,-2)$、 $(-2,0)$、 $(0,3)$、 $(3,+\infty )$。

• 第二步：画线穿根 由于最高次项 $x^3$ 的系数为 1（正数），且每个根的次数均为 1（单重奇数根），故从数轴最右侧的上方开始引出一条曲线：

  1. 穿过零点 $3$ 进入数轴下方；
  2. 穿过零点 $0$ 重新进入数轴上方；
  3. 穿过零点 $-2$ 再次进入数轴下方。

• 第三步：按号选区 题目要求表达式 $<0$（即负数区域），对应数轴下方的曲线部分。 观察图象，对应的自变量区间为： $x<-2\text{或}0<x<3$

用集合形式表示，原不等式的解集为 $\{x|x<-2\text{ 或 }0<x<3\}$。

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式与整式不等式的同解变形规则、序轴标根法的应用。
2. 核心方法：数轴穿根法。
3. 避坑指南：
   • 切勿盲目去分母。有同学直接在两边同乘以 $(x-3)$ 得到 $x(x+2)<0⟹-2<x<0$，这是严重的逻辑错误。因为 $(x-3)$ 的正负号取决于 $x$ 的范围，直接乘法若不分类讨论会导致改变不等号方向，最安全的方法是直接将其“移到分子”变为乘积式。
   • 注意边界点的开闭。本题中是不等号是严格小于（$<$），故所有边界点均不包含，最终解集为开区间形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典初等代数中关于一元高次与分式不等式的标准入门考核题。
2. 结论推广: 一般地，对于任意高次分式不等式 $\frac{\prod (x-a_i)}{\prod (x-b_j)}<0$（其中所有根均互异），只需将分子分母的所有零点汇总到数轴上，统一用“从右向左、自上而下、奇过偶回”的穿根法即可一网打尽。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形