2004-全国卷III理-19 解-函数在实际问题中的应用

本题导读

本题考查函数在实际问题中的应用。核心在于建模法、基本不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 某村计划建造一个室内面积为 $800{\text{ m}}^2$ 的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 $1\text{ m}$ 宽的通道，沿前侧内墙保留 $3\text{ m}$ 宽的空地. 当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设自变量建立模型：设矩形蔬菜温室垂直于左右通道的边（即东西方向的宽）为 $x\text{ m}$，则平行于左右通道的另一边（即南北方向的长）可以表示为 $\frac{800}{x}\text{ m}$。
2. 写出种植面积函数：蔬菜种植区域也是一个矩形。由于左右各留 $1\text{ m}$ 通道，其宽为 $x-2$；由于前后分别留了 $1\text{ m}$ 和 $3\text{ m}$ 的通道与空地，其长为 $\frac{800}{x}-4$。利用长乘宽得出种植面积 $S$ 关于 $x$ 的函数。
3. 利用基本不等式求最值：将面积函数展开，分离出常数项，化为 $A-\left(Bx+\frac{C}{x}\right)$ 的形式，当 $x>0$ 且满足实际物理意义时，利用均值不等式求出 $S$ 的最大值及等号成立的条件。

✅【答案】

Success

当矩形温室平行于左右通道的边长为 $40\text{ m}$，垂直于左右通道的边长为 $20\text{ m}$ 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是 $648{\text{ m}}^2$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设矩形温室平行于左右通道的边长（长）为 $x\text{ m}$，则垂直于左右通道的边长（宽）为 $\frac{800}{x}\text{ m}$。 根据实际意义，种植区域的边长必须大于零，因此有 $x>4$ 且 $\frac{800}{x}>2⟹4<x<400$。

由题意，蔬菜种植区域也是一个矩形，其两边长分别为：

• 扣除左右两侧各 $1\text{ m}$ 的通道，宽度变为： $\frac{800}{x}-2$
• 扣除后侧 $1\text{ m}$ 通道与前侧 $3\text{ m}$ 空地，长度变为： $x-4$

设蔬菜的种植面积为 $S{\text{ m}}^2$，则 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式为： $S=(x-4)\left(\frac{800}{x}-2\right)$ 将多项式展开化简： $S=800-2x-\frac{3200}{x}+8=808-\left(2x+\frac{3200}{x}\right)$

因为 $x>4$，所以 $2x>0$， $\frac{3200}{x}>0$。 根据基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时等号成立），可得： $2x+\frac{3200}{x}⩾2\sqrt{2x\cdot \frac{3200}{x}}=2\sqrt{6400}=2\times 80=160$

当且仅当 $2x=\frac{3200}{x}$ 时，上述不等式取等号。 解此方程： $2x^2=3200⟹x^2=1600⟹x=40\text{（负根 }x=-40\text{ 舍去）}$ 经检验， $x=40$ 满足实际约束条件 $4<x<400$。

此时，将 $\left(2x+\frac{3200}{x}\right)$ 的最小值 160 代入面积表达式中，得到 $S$ 的最大值： $S_{\max }=808-160=648{\text{ m}}^2$

当 $x=40$ 时，矩形温室的另一边长为： $\frac{800}{x}=\frac{800}{40}=20\text{ m}$

答：当矩形温室平行于左右通道的边长为 $40\text{ m}$，垂直于左右通道的边长为 $20\text{ m}$ 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是 $648{\text{ m}}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何应用题的模型构建、基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 求函数最值。
2. 核心方法：自变量设取与消元法。
3. 避坑指南：
   • 扣除通道宽度时千万不要扣错漏算。左右两侧各留 $1\text{ m}$，总宽度应该减去 $2\text{ m}$；前后（一侧 $1\text{ m}$，另一侧 $3\text{ m}$），总长度应该减去 $1+3=4\text{ m}$。
   • 用完基本不等式求出最大值后，必须写出等号成立的显式条件（即令 $2x=\frac{3200}{x}$ 求出 $x$），并计算出此时温室的两个具体边长（$40\text{ m}$ 和 $20\text{ m}$），否则在解答题中属于步骤不完整，会被扣除 2~3 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典人教版高中数学必修板块基本不等式章节的应用例题形变。
2. 结论推广: 一般地，总面积为 $S_0$ 的矩形区域，若四周保留内部边缘宽度分别为 $a,b$（对边）和 $c,d$（另两对边），则最大内部可用面积 $S_{\text{in}}$ 在总矩形边长比例满足对应管道开方比时取得，其最大值公式表现为恒等式： $S_{\text{in}}=S_0+(a+b)(c+d)-2\sqrt{S_0(a+b)(c+d)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积
• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用