2004-全国卷III理-17 解-三角函数同角名变换

本题导读

本题考查三角函数同角名变换。核心在于齐次式代换法、三角恒等式因式分解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，求 $\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 角度统一：分式中含有 $\alpha ,2\alpha$，优先利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 和 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 将所有非单角全部化为单角 $\alpha$。
2. 分子分母化简：将倍角公式代入后，分子分母提取公因式进行约分简化。
3. 切变转化（弦化切）：约分后的代数式往往呈现分子分母关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的同次齐次式结构，分子分母同除以 $\cos \alpha$ 的最高次幂，将其完全转化为关于 $\tan \alpha$ 的表达式后代入求解。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 将二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 代入原式的分子中： $\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha =(2\sin \alpha \cos \alpha )\cos \alpha -\sin \alpha =2\sin \alpha {\cos }^2\alpha -\sin \alpha$ 提取公因式 $\sin \alpha$： $=\sin \alpha (2{\cos }^2\alpha -1)$ 根据二倍角余弦公式的变形，已知 $2{\cos }^2\alpha -1=\cos 2\alpha$，故分子可化简为： $\sin \alpha \cos 2\alpha$

将化简后的分子代回原分式中： $\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha -\sin \alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }=\frac{\sin \alpha \cos 2\alpha }{\sin 2\alpha \cos 2\alpha }$ 因为 $\alpha$ 为锐角且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，所以 $2\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $\cos 2\alpha \ne 0$，分子分母同时约去 $\cos 2\alpha$： $=\frac{\sin \alpha }{\sin 2\alpha }$ 再次将分母的 $\sin 2\alpha$ 展开为 $2\sin \alpha \cos \alpha$： $=\frac{\sin \alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }$ 因为 $\alpha$ 是锐角， $\sin \alpha \ne 0$，约去 $\sin \alpha$ 得： $=\frac{1}{2\cos \alpha }$

由 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 且 $\alpha$ 为锐角，根据同角三角函数基本关系式： ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha ⟹\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ 由于 $\alpha$ 为锐角， $\cos \alpha >0$，开方得： $\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2}$

将其代入最终的化简结果 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos \alpha }$ 中： $\text{原式}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦与余弦公式、三角式因式分解约分、同角三角函数基本恒等式。
2. 核心方法：先化简、后代入法。
3. 避坑指南：
   • 绝对不能一上来就把 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 算成具体的 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 直接往原式死套。原式结构复杂，直接硬套会导致高次多项式和根式交织，极易计算崩溃。务必遵循“先化简，化到最简再代值”的铁律。
   • 注意约分的充要条件，本题中通过分析 $\alpha$ 为锐角判定 $\cos 2\alpha \ne 0$ 和 $\sin \alpha \ne 0$ 是保证约分步骤严谨不扣分的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考三角大题第一问的基础恒等变形题。
2. 结论推广: 一般地，对于结构为 $f(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ 且分子分母属于相同阶数齐次式的三角求值题，可以通过分子分母同时除以 ${\cos }^n\alpha$ 转化为纯粹关于 $\tan \alpha$ 的多项式方程求解，无需借助具体角的值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04 解-同角三角函数基本关系
• 1977-浙江-04 解-弦化切求值
• 1977-福建卷-02 解-分式不等式的解法