2004-全国卷III理-15 填-函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及反函数的概念与性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 已知函数 $y=f(x)$ 是奇函数，当 $x⩾0$ 时， $f(x)=3^x-1$，设 $f(x)$ 的反函数是 $y=g(x)$，则 $g(-8)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数基本性质转化：要求 $g(-8)$ 的值，根据反函数的定义，设 $g(-8)=m$，这等价于求满足 $f(m)=-8$ 的实数 $m$。
2. 利用奇偶性化归：由于已知解析式仅在 $x⩾0$ 时生效，而此时 $f(m)=-8<0$，说明 $m$ 必然小于 0。利用奇函数性质 $f(-m)=-f(m)$ 将自变量转为正数，从而代入已知解析式求解。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(-8)=m$，根据反函数的定义与性质，可得： $f(m)=-8$

因为当 $x⩾0$ 时， $f(x)=3^x-1⩾3^0-1=0$． 而此时 $f(m)=-8<0$，根据函数的单调性与对应范围，可知 $m<0$． 由于 $m<0$，则有 $-m>0$。

又已知函数 $y=f(x)$ 是奇函数，根据奇函数的性质 $f(-x)=-f(x)$，可得： $f(-m)=-f(m)$ 将 $f(m)=-8$ 代入上式中： $f(-m)=-(-8)=8$

因为 $-m>0$，符合当 $x⩾0$ 时 $f(x)=3^x-1$ 的解析式适用范围，将 $-m$ 代入得： $3^{-m}-1=8$ $3^{-m}=9$ $3^{-m}=3^2$ 由此可得： $-m=2⟹m=-2$

所以， $g(-8)=-2$。

答：-2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数与原函数的映射对换性质（“求反函数值”转化为“求原函数自变量”）、奇函数的对称性质。
2. 核心方法：方程转化法、自变量正负转化法。
3. 避坑指南：
   • 切忌盲目去求反函数 $g(x)$ 的完整解析式。虽然本题可以通过分段讨论求出 $g(x)$，但计算量大且容易在符号或定义域上出错。牢记“求反函数值，九成用定义倒推原函数”的黄金法则。
   • 注意符号的处理。由 $m<0$ 导出 $-m>0$ 后才可代入 $3^x-1$。如果直接误将 $m$ 代入，会得到 $3^m-1=-8⟹3^m=-7$，而在实数范围内指数式不可能为负，会导致解题陷入死胡同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典函数概念板块中奇偶性与反函数交汇的基本题型。
2. 结论推广: 一般地，若奇函数 $f(x)$ 存在反函数 $g(x)$，则其反函数 $g(x)$ 也必然是奇函数。利用此结论，本题可直接化简： $g(-8)=-g(8)$。令 $g(8)=n⟹f(n)=8$（此时 $n>0$），直接代入得 $3^n-1=8⟹3^n=9⟹n=2$，故 $g(-8)=-n=-2$。此法利用“奇函数的反函数也是奇函数”这一性质更为迅速。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性