本题导读
本题考查排列组合与计数原理，以及均匀分组与不均匀分组问题。
📌【题干】
Question
（2004年全国卷III(理)） 将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名，则不同的分配方案共有 ()
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析分组指标特征：4 名不同的教师分配到 3 所不同的中学，且每所中学至少分配 1 名教师。根据整数拆分原理，将 4 拆分为 3 个正整数的和，唯一合理的拆分结构为： 。
- 第段（组合分组）：从 4 人中挑出 2 人捆绑作为一个复合元素，剩下 2 人各自独立，此时 4 人被划分成三个独立教师组，其分组的人数规约分别是 2人、1人、1人。由于存在两个人数相同（均为 1 人）的组，计算时需注意消除相同元素组的内部无序性。
- 第二阶段（全排列分配）：将分好的 3 个教师组，全排列分配到 3 所不同的中学中，对应排法为 。两阶段计数依据分步乘法原理相乘。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
根据题目要求，4 名教师分配到 3 所中学，每所中学至少 1 名。 由于教师人数为 4，学校数为 3，由抽屉原理可知，必然有且仅有一所学校分配到 2 名教师，其余两所学校各分配 1 名教师。
采用“先分组，后分配”的策略进行计算：
第一步：将 4 名教师分成三组，人数分别为 2, 1, 1 先从 4 名教师中随机选出 2 人组成一组，组合数为 ； 再从剩下的 2 名教师中选出 1 人组成第二组，组合数为 ； 最后一组自动确定，组合数为 。 因为划分出来的三个组中，有两个组的人数相同（都是 1 人），而组与组之间在纯分组阶段是没有先后顺序（无序）的，故需要除以相同组数的全排列数 。 所以，纯分组的方案数为：
第二步：将分好的三组教师全排列分配到 3 所不同的中学 三个组分配到 3 所不同学校，是一个全排列过程，方案数为：
第三步：结合乘法原理求总数 根据分步计数乘法原理，不同的分配方案总数为：
对照选项，正确答案为 C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：不均匀分组模型的组合消序、不同元素的分配排列。
- 核心方法：先分组后分配法。
- 避坑指南：
- 极其容易在分组时漏掉除以 （即除以 2）。如果不除以 2，算出来的分组数是 ，再乘以全排列 6 会得出 72 种。要记住：只要分组时出现人数相同的非特异性空组，必须除以相同人数大组个数的阶乘进行“消序”。
- 当然，本题也可以换个角度思考避免除法：直接先决定哪所学校接收 2 名教师（共有 种选择），再从 4 人中选 2 人扔进该学校（共有 种选法），最后剩下 2 人全排列去剩下的 2 所学校（共有 种排法）。这样直接分步的算式为 ，逻辑上更符合直觉，且完全不涉及消序陷阱。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 经典排列组合中的“第二类斯特林数（Stirling Numbers of the second kind）”应用背景。
- 结论推广: 将 个不同的元素分配到 个不同的容器中（无空盒），其总分配方案数公式为 。其中 即为第二类斯特林数（表示将 个不同元素划分为 个无序非空子集的方案数）。本题即为 。
🔗【关联脉络】
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