2004-全国卷III理-06 单-复数的代数形式与几何意义

本题导读

本题考查复数的代数形式与几何意义，以及复数的辐角主值与三角形式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设复数 $z$ 的辐角的主值为 $\frac{2\pi }{3}$，虚部为 $\sqrt{3}$，则 $z^2=$ ()

A. $-2-2\sqrt{3}\text{i}$　　　B. $-2\sqrt{3}-2\text{i}$　　　C. $2+2\sqrt{3}\text{i}$　　　D. $2\sqrt{3}+2\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 代数转化思路：设复数 $z=x+y\text{i}(x,y\in \mathbf{R})$。已知虚部 $y=\sqrt{3}$，利用辐角主值满足 $\tan \theta =\frac{y}{x}$，结合 $\theta =\frac{2\pi }{3}$ 在第二象限建立方程求出实部 $x$。
2. 平方计算：确定 $z$ 的代数形式后，利用完全平方公式 $(a+b\text{i}{)}^2=a^2-b^2+2ab\text{i}$ 直接计算出 $z^2$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一（代数形式直接计算）： 设复数 $z=x+y\text{i}$，其中 $x,y\in \mathbf{R}$。 已知复数 $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$，则 $y=\sqrt{3}$。 因为复数 $z$ 的辐角主值为 $\theta =\frac{2\pi }{3}$，属于第二象限角，所以实部 $x<0$。 根据复数辐角的定义： $\tan \frac{2\pi }{3}=\frac{y}{x}⟹-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{x}⟹x=-1$ 因此，复数 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$。

接下来计算 $z^2$ 的值： $z^2=(-1+\sqrt{3}\text{i}{)}^2=(-1{)}^2+(\sqrt{3}\text{i}{)}^2-2\sqrt{3}\text{i}$ 由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入化简得： $z^2=1-3-2\sqrt{3}\text{i}=-2-2\sqrt{3}\text{i}$

方法二（三角形式与棣莫弗定理）： 设复数 $z$ 的模长为 $r(r>0)$。由复数的三角形式表示， $z=r\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{2\pi }{3}\right)$。 展开代入三角函数值： $z=r\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=-\frac{r}{2}+\frac{\sqrt{3}r}{2}\text{i}$ 由于其虚部为 $\sqrt{3}$，所以有： $\frac{\sqrt{3}r}{2}=\sqrt{3}⟹r=2$ 根据棣莫弗定理（复数乘方的三角表示形式）， $z^2$ 的模长为 $r^2$，辐角变为原来的 2 倍： $z^2=2^2\left(\cos \left(2\times \frac{2\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(2\times \frac{2\pi }{3}\right)\right)=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{3}\right)$ 利用诱导公式化简第三象限的三角函数值： $z^2=4\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right)=-2-2\sqrt{3}\text{i}$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的虚部概念、复数辐角与实部虚部的三角对应关系、复数的代数/三角乘方运算。
2. 核心方法：直角坐标与极坐标转换法、完全平方运算法。
3. 避坑指南：
   • 切忌分不清“虚部”与“虚数项”的区别。复数 $z=x+y\text{i}$ 的虚部是实数 $y$，而不是 $y\text{i}$。
   • 注意辐角主值 $\frac{2\pi }{3}$ 所处的象限。由于在第二象限，实部 $x$ 必然为负数，如果在计算中漏掉负号，求出 $x=1$，会错选为 (C)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础的复数几何表示与代数代换综合题。
2. 结论推广: 若复数 $z$ 的模长为 $r$，辐角为主值 $\theta$，则其 $n$ 次方 $z^n$ 的代数式恒为 $r^n(\cos n\theta +\text{i}\sin n\theta )$。对于高次乘方，优先转化为三角形式用棣莫弗定理降次，比直接代数展开更具优越性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-11 单-复数的辐角
• 1986-广东理-05 单-复数的辐角
• 1984-全国文-03 单-复数的三角形式