2004-全国卷II理-17 解-三角函数和差化积与积化和差公式

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于展开消元法、比例代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知锐角三角形 $ABC$ 中， $\sin (A+B)=\frac{3}{5}$， $\sin (A-B)=\frac{1}{5}$.

(1) 求证： $\tan A=2\tan B$；

(2) 设 $AB=3$，求 $AB$ 边上的高.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问切入点：已知 $\sin (A+B)$ 和 $\sin (A-B)$，利用两角和与差的正弦公式展开，通过两式相加、相减可求出 $\sin A\cos B$ 和 $\cos A\sin B$ 的值。
2. 两式相比：将两者相除即可直接转化得到 $\tan A$ 与 $\tan B$ 的比例关系，实现齐次化切变。
3. 第(2)问几何转化：作 $CD\perp AB$ 于 $D$，设高 $CD=h$。利用直角三角形正切定义将 $AD$ 和 $BD$ 用 $h,\tan A,\tan B$ 表示。
4. 方程求解：由于 $AD+BD=AB=3$，代入正切值建立关于 $h$ 的一元方程，但在求解前需通过锐角三角形的条件严格判定 $\cos (A+B)$ 的正负号以确定正切的精确值。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $2+\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 根据两角和与差的正弦公式，将已知条件展开： $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{3}{5}\text{（式1）}$ $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B=\frac{1}{5}\text{（式2）}$

联立方程组，（式1） $+$ （式2）得： $2\sin A\cos B=\frac{4}{5}⟹\sin A\cos B=\frac{2}{5}\text{（式3）}$ （式1） $-$ （式2）得： $2\cos A\sin B=\frac{2}{5}⟹\cos A\sin B=\frac{1}{5}\text{（式4）}$

因为 $△ABC$ 为锐角三角形，所以 $\cos A\ne 0,\cos B\ne 0$。 将（式3）两边除以（式4）两边： $\frac{\sin A\cos B}{\cos A\sin B}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{5}}=2$ 利用同角三角函数的商数关系 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$，上式即： $\tan A\cdot \frac{1}{\tan B}=2⟹\tan A=2\tan B$ 得证。

(2) 解： 由题意， $△ABC$ 是锐角三角形，则内角 $C=\pi -(A+B)$ 为锐角，所以 $A+B>\frac{\pi }{2}$。 从而 $\cos (A+B)<0$。 已知 $\sin (A+B)=\frac{3}{5}$，利用同角平方和关系： $\cos (A+B)=-\sqrt{1-{\sin }^2(A+B)}=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=-\frac{4}{5}$ 由此求得： $\tan (A+B)=\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\text{（式5）}$

展开正切和角公式： $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\frac{3}{4}\text{（式6）}$ 将第(1)问已证的 $\tan A=2\tan B$ 代入（式6）： $\frac{2\tan B+\tan B}{1-2{\tan }^{2}B}=-\frac{3}{4}⟹\frac{3\tan B}{1-2{\tan }^{2}B}=-\frac{3}{4}$ 两边约去 3 并交叉相乘： $4\tan B=-1+2{\tan }^{2}B⟹2{\tan }^{2}B-4\tan B-1=0$ 解此一元二次方程，得： $\tan B=\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\times 2\times (-1)}}{2\times 2}=\frac{4\pm \sqrt{24}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}$ 因为 $△ABC$ 为锐角三角形， 故 $\tan B>0$。 由于 $\sqrt{6}>2$，若取负号则 $\tan B<0$ 不合题意，舍去。 故 $\tan B=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，从而 $\tan A=2\tan B=2+\sqrt{6}$。

在 $△ABC$ 中，作 $CD\perp AB$ 于点 $D$，设 $CD=h$ 即为 $AB$ 边上的高。 因为 $A,B$ 均为锐角，所以垂足 $D$ 严格落在选段 $AB$ 内部。 在 $\text{Rt}△ACD$ 和 $\text{Rt}△BCD$ 中，由正切定义： $AD=\frac{CD}{\tan A}=\frac{h}{\tan A},BD=\frac{CD}{\tan B}=\frac{h}{\tan B}$ 由 $AD+BD=AB=3$，代入得： $h\left(\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}\right)=3$ 将 $\tan A=2\tan B$ 代入： $h\left(\frac{1}{2\tan B}+\frac{1}{\tan B}\right)=3⟹h\cdot \frac{3}{2\tan B}=3⟹h=2\tan B$ 将 $\tan B=\frac{2+\sqrt{6}}{2}$ 代入上式： $h=2\times \frac{2+\sqrt{6}}{2}=2+\sqrt{6}$

所以，$AB$ 边上的高为 $2+\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦和差角公式的消元、正切和角公式、利用直角三角形高与底边的正切关系解三角形。
2. 核心方法：公式展开法、方程组法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问确定 $\cos (A+B)$ 的符号是极易犯错的雷区。许多学生因看到“锐角三角形”便机械认为所有三角函数值均为正，从而误设 $\cos (A+B)=\frac{4}{5}$。务必注意：锐角三角形中虽 $A,B,C<\frac{\pi }{2}$，但两角之和 $A+B=\pi -C$ 必然在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 之间，属于第二象限角，其余弦值严格为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数的和差化积与两角和差公式，考查由 $\sin (A+B)$、$\sin (A-B)$ 推出角的关系。
2. 结论推广: 已知 $\sin (A+B)$ 与 $\sin (A-B)$ 的值，可用和差化积展开后相加、相减，解出 $\sin A\cos B$ 与 $\cos A\sin B$，再作比即得 $\tan A$ 与 $\tan B$ 的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数
• 1988-上海-07 填-三角函数的最小正周期
• 1989-广东文-19 单-三角函数的最小正周期