2004-全国卷II理-15 填-双曲线与性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与性质，以及椭圆的标准方程与性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 设中心在原点的椭圆与双曲线 $2x^2-2y^2=1$ 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将双曲线化为标准方程，求出其焦点坐标（确定 $c$）与离心率 $e_1$。
2. 根据共焦点的条件得出椭圆的 $c$ 值和焦点位置，由离心率互为倒数得出椭圆的离心率 $e_2$，结合 $e_2=\frac{c}{a}$ 解出 $a^2$ 和 $b^2$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

将双曲线 $2x^2-2y^2=1$ 化为标准方程： $\frac{x^2}{\frac{1}{2}}-\frac{y^2}{\frac{1}{2}}=1$ 可得双曲线的参数：$a_1^2=\frac{1}{2}$，$b_1^2=\frac{1}{2}$。 其半焦距 $c_1=\sqrt{a_1^2+b_1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$。 焦点在 $x$ 轴上，坐标为 $(\pm 1,0)$。 双曲线的离心率 $e_1=\frac{c_1}{a_1}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$。

设椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$。 由题意知，椭圆与双曲线有公共焦点，故椭圆的半焦距 $c=c_1=1$，且焦点在 $x$ 轴上。 椭圆与双曲线离心率互为倒数，则椭圆的离心率 $e_2=\frac{1}{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 又因椭圆离心率 $e_2=\frac{c}{a}$，代入已知值得： $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解得 $a=\sqrt{2}$，则 $a^2=2$。 由椭圆参数关系 $b^2=a^2-c^2$ 得： $b^2=2-1^2=1$ 故该椭圆的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

答：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线（椭圆、双曲线）的标准方程、焦点坐标、离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 以及 $a,b,c$ 之间的关系。
2. 核心方法：待定系数法、参数对应法。
3. 避坑指南：必须注意椭圆与双曲线中 $a,b,c$ 关系式的区别。双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中 $a^2=b^2+c^2$。双曲线化标准方程时，系数 $2$ 需化为分母 $\frac{1}{2}$，极易错写为分母 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的圆锥曲线“共焦点”与“离心率”关联问题。
2. 结论推广: 若椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与双曲线 $\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$ 共焦点，则存在恒等关系 $a^2-b^2=m^2+n^2=c^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量