2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列，以及古典概型与组合数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 $\xi$ 个红球，则随机变量 $\xi$ 的概率分布为：

$\xi$	$0$	$1$	$2$
$P$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确总事件数：从总共 5 个球中任取 2 个组合数 $C_5^2$。
2. 明确随机变量取值及其对应事件： $\xi =0$ (0红2白)， $\xi =1$ (1红1白)， $\xi =2$ (2红0白)。
3. 利用古典概型概率公式 $P=\frac{m}{n}$ 逐一计算并验证概率和为 1。

✅【答案】

Success

P(\xi=0)=\frac{1}{10},\ P(\xi=1)=\frac{3}{5},\ P(\xi=2)=\frac{3}{10}

✍【详细解析】

Abstract

从装有 3 个红球，2 个白球（共 5 个球）的袋中随机取出 2 个球，基本事件总数为： $C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

随机变量 $\xi$ 表示取出的红球个数，其可能取值为 $0,1,2$。 根据超几何分布概率公式计算：

• 当 $\xi =0$ 时（即取出 0 个红球，2 个白球）： $P(\xi =0)=\frac{C_3^0{C}_2^2}{C_5^2}=\frac{1\times 1}{10}=\frac{1}{10}$
• 当 $\xi =1$ 时（即取出 1 个红球，1 个白球）： $P(\xi =1)=\frac{C_3^1{C}_2^1}{C_5^2}=\frac{3\times 2}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
• 当 $\xi =2$ 时（即取出 2 个红球，0 个白球）： $P(\xi =2)=\frac{C_3^2{C}_2^0}{C_5^2}=\frac{3\times 1}{10}=\frac{3}{10}$

（验算： $\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{3}{10}=\frac{10}{10}=1$，计算无误。）

将计算结果填入表格：

$\xi$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布概率公式 $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。
2. 核心方法：古典概型组合数计算。
3. 避坑指南：求完所有的概率后，务必进行“归一化验算”（所有概率之和必须为 1），这是排查组合数计算错误的最有效防线。若要求填表，建议将未化简的同分母分数化简为最简分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础的不放回抽样概率模型（超几何分布）。
2. 结论推广: 一般地，设有 $N$ 件产品，其中有 $M$ 件次品。从中任取 $n$ 件，则其中的次品数 $X$ 服从超几何分布，概率满足 $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$，其数学期望为 $E(X)=\frac{nM}{N}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2017-山东卷理-18 解-古典概型
• 2011-广东卷理-17 解-分层抽样
• 2011-江西卷理-16 解-古典概型