2004-全国卷II理-08 单-两圆的位置关系

本题导读

本题考查两圆的位置关系，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 在坐标平面内，与点 $A(1,2)$ 距离为 $1$，且与点 $B(3,1)$ 距离为 $2$ 的直线共有 ()

A. 1 条　　　　　B. 2 条　　　　　C. 3 条　　　　　D. 4 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将几何条件等价转化：与点 $A$ 距离为 $1$ 的直线，必定与以 $A$ 为圆心、$1$ 为半径的圆相切；同理，与点 $B$ 距离为 $2$ 的直线，必定与以 $B$ 为圆心、$2$ 为半径的圆相切。因此，满足条件的直线即为这两个圆的公切线。
2. 判定两圆位置关系：计算两圆的圆心距 $d$，并与两圆半径的和 $(R+r)$ 与差 $(|R-r|)$ 进行比较。
3. 得出结论：根据两圆相离（4条）、外切（3条）、相交（2条）、内切（1条）、内含（0条）的规律，得出公切线条数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设满足条件的直线为 $l$。 由题意，直线 $l$ 到点 $A(1,2)$ 的距离为 $1$，则 $l$ 与以 $A$ 为圆心、半径 $r_1=1$ 的圆 $C_1$ 相切。 同理，直线 $l$ 到点 $B(3,1)$ 的距离为 $2$，则 $l$ 与以 $B$ 为圆心、半径 $r_2=2$ 的圆 $C_2$ 相切。 因此，问题转化为求圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的公切线条数。

计算两圆心 $A,B$ 之间的距离 $d$： $d=|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$

计算两圆半径的和与差的绝对值： $r_1+r_2=1+2=3=\sqrt{9}$ $|r_1-r_2|=|1-2|=1=\sqrt{1}$

比较 $d$ 与 $r_1+r_2$, $|r_1-r_2|$ 的大小关系： 因为 $\sqrt{1}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$，即 $1<\sqrt{5}<3$， 所以有： $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$

由此可知，圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系为相交。 两圆相交时，没有内公切线，有且仅有 $2$ 条外公切线。 故满足条件的直线共有 $2$ 条。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的公切线、两圆位置关系的代数判定。
2. 核心方法：几何转化法（将点线距离转化为线圆相切）。
3. 避坑指南：如果直接设直线方程 $y=kx+b$ 然后利用点到直线距离公式列方程组求解，会导致代数运算极其复杂且容易出错。遇到与两点距离为定值的直线问题，首选转化为两圆公切线问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解析几何中动点轨迹与直线方程的综合应用。
2. 结论推广: 一般地，求与定点 $P_1$ 距离为 $d_1$ 且与定点 $P_2$ 距离为 $d_2$ 的直线条数，等价于求圆心在 $P_1,P_2$ 且半径分别为 $d_1,d_2$ 的两个圆的公切线条数。完全由圆心距 $d=|P_1{P}_2|$ 与 $d_1+d_2,|d_1-d_2|$ 的关系唯一确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1979-全国文-07 解-圆的内接矩形与切线