2004-全国卷II理-06 单-函数图象的对称变换

本题导读

本题考查函数图象的对称变换，以及指数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 函数 $y=-{\text{e}}^x$ 的图象 ()

A. 与 $y={\text{e}}^x$ 的图象关于 $y$ 轴对称

B. 与 $y={\text{e}}^x$ 的图象关于坐标原点对称

C. 与 $y={\text{e}}^{-x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称

D. 与 $y={\text{e}}^{-x}$ 的图象关于坐标原点对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾对称变换的代数法则：关于 $y$ 轴对称则 $x\to -x$；关于原点对称则 $x\to -x$ 且 $y\to -y$。
2. 依次对选项中给定的基础函数进行对应的坐标代换，比对化简后的解析式是否为 $y=-{\text{e}}^x$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

逐项验证： (A) 将 $y={\text{e}}^x$ 的 $x$ 替换为 $-x$，得 $y={\text{e}}^{-x}$，不等于 $-{\text{e}}^x$。 (B) 将 $y={\text{e}}^x$ 的 $x$ 替换为 $-x$，$y$ 替换为 $-y$，得 $-y={\text{e}}^{-x}$，即 $y=-{\text{e}}^{-x}$，不等于 $-{\text{e}}^x$。 (C) 将 $y={\text{e}}^{-x}$ 的 $x$ 替换为 $-x$，得 $y={\text{e}}^{-(-x)}={\text{e}}^x$，不等于 $-{\text{e}}^x$。 (D) 将 $y={\text{e}}^{-x}$ 的 $x$ 替换为 $-x$，$y$ 替换为 $-y$，得 $-y={\text{e}}^{-(-x)}$，即 $-y={\text{e}}^x$，化简得 $y=-{\text{e}}^x$。与已知函数完全一致。

对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的对称性代数表示。
2. 核心方法：点坐标代换法则（关于原点对称：点 $(x,y)\to (-x,-y)$）。
3. 避坑指南：必须同时对方程两边的变量执行负号代换，容易在处理连串负号（如 $-(-x)$）时发生符号判定错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 常见初等函数图象的几何变换基础题。
2. 结论推广: 若两函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于原点对称，则必恒有 $f(x)=-g(-x)$。此恒等性质代数关系适用于所有平面解析函数的中心对称判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-04 单-指数函数的图象
• 1985-广东文-11 单-指数函数的图象
• 1985-广东理-11 单-指数函数的图象