2004-全国卷II理-05 单-正切函数

本题导读

本题考查正切函数的图象与性质，以及三角方程的求解。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知函数 $y=\tan (2x+\phi )$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$，则 $\phi$ 可以是 ()

A. $-\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $-\frac{\pi }{12}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将点 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$ 的坐标代入函数方程 $y=\tan (2x+\phi )$ 中。
2. 得到 $\tan \left(2\cdot \frac{\pi }{12}+\phi \right)=0$。
3. 根据正切函数的零点性质，得 $2\cdot \frac{\pi }{12}+\phi =k\pi (k\in \mathbf{Z})$。
4. 解出 $\phi$ 的一般表达式，并令 $k$ 取不同的整数值，找出与选项匹配的结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=\tan (2x+\phi )$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$， 将 $x=\frac{\pi }{12},y=0$ 代入函数解析式，得： $\tan \left(2\cdot \frac{\pi }{12}+\phi \right)=0$ 即 $\tan \left(\frac{\pi }{6}+\phi \right)=0$。

由正切函数的性质知，当 $\tan \alpha =0$ 时， $\alpha =k\pi (k\in \mathbf{Z})$。 所以 $\frac{\pi }{6}+\phi =k\pi (k\in \mathbf{Z})$， 解得 $\phi =k\pi -\frac{\pi }{6}(k\in \mathbf{Z})$。

接下来，通过给 $k$ 赋整数值来寻找特解： 当 $k=0$ 时， $\phi =-\frac{\pi }{6}$。

观察选项，(A) 选项正是 $-\frac{\pi }{6}$。

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切函数的零点（与 $x$ 轴的交点）分布规律，即 $\tan x=0⟺x=k\pi (k\in \mathbf{Z})$。
2. 核心方法：点在曲线上即点满足曲线方程的代入法。
3. 避坑指南：切忌将 $\tan (\frac{\pi }{6}+\phi )=0$ 错误解为 $\frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ （这是余切的零点或正切的渐近线）。求出通解后，一定要加上 $k\in \mathbf{Z}$，然后逐一尝试 $k$ 的值以匹配选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正切函数的图象与相位，考查由图象过定点反求参数。
2. 结论推广: 正切函数 $y=\tan (2x+\phi )$ 的零点满足 $2x+\phi =k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），把已知点的坐标代入即可求出 $\phi$ 的一般表达式，再对照选项取满足者。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1952-全国-14 填-正切二倍角方程通解
• 1989-上海-03 填-三角方程的解集
• 1990-广东理-09 单-三角方程解的个数