2004-全国卷II理-02 单-极限的四则运算

本题导读

本题考查极限的四则运算，以及分式函数的极限求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2+4x-5}=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{2}{5}$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先尝试将 $x=1$ 直接代入分子和分母。分子 $1^2+1-2=0$，分母 $1^2+4(1)-5=0$。这是一个典型的 $\frac{0}{0}$ 型极限。
2. 对于由多项式构成的 $\frac{0}{0}$ 型分式极限，最直接的方法是对分子和分母进行因式分解，找出公共零因子 $(x-1)$ 并约去。
3. 约分后，再次将 $x=1$ 代入化简后的表达式即可得到极限值。
4. (可选) 也可直接应用洛必达法则，对分子分母分别求导后再代入极值点。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：因式分解法 原极限式为 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2+4x-5}$。

当 $x\to 1$ 时，分子 $x^2+x-2\to 0$，分母 $x^2+4x-5\to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型。 对分子多项式进行因式分解（十字相乘法）： $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ 对分母多项式进行因式分解： $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$

将分解后的表达式代回原极限式： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2+4x-5}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+5)}$

因为 $x\to 1$ 意味着 $x$ 无限逼近于 1 但不等于 1，所以 $(x-1)\ne 0$，可以进行约分： $={\lim }_{x\to 1}\frac{x+2}{x+5}$

此时分母在 $x=1$ 处不为 0，可以直接利用极限四则运算法则代入计算： $=\frac{1+2}{1+5}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

方法二：洛必达法则 (L’Hôpital’s Rule) 因为极限属于 $\frac{0}{0}$ 型，且分子分母均可导，直接使用洛必达法则，对分子和分母分别求导： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2+4x-5}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x^2+x-2{)}^{\prime }}{(x^2+4x-5{)}^{\prime }}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{2x+1}{2x+4}$ 将 $x=1$ 直接代入求导后的表达式： $=\frac{2(1)+1}{2(1)+4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$\frac{0}{0}$ 型有理分式极限的求解。
2. 核心方法：因式分解约去零因子法、洛必达法则。
3. 避坑指南：切勿在未判断极限类型的情况下直接认为极限不存在（分母为0）。看到分母极限为 0 时，务必检查分子极限是否也为 0。在约分时，要清楚约去 $(x-1)$ 的前提是极限过程中 $x\ne 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数极限的四则运算，针对 $x\to 1$ 时分式呈现 $\frac{0}{0}$ 型的极限求值。
2. 结论推广: 对 $\frac{0}{0}$ 型分式极限，先对分子、分母分别因式分解，约去公共零因子 $x-x_0$ 后再代入求值，是处理此类极限的通用方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-12 解-洛必达法则求极限
• 1977-福建文-01 解-综合小题九连
• 1987-全国文-12 填-数列的极限