2004-全国卷I理-21 解-双曲线

本题导读

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于联立消元判别式法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ 与直线 $l:x+y=1$ 相交于两个不同的点 $A、B$.

(1) 求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围；

(2) 设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，且 $\overrightarrow{PA}=\frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$.求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将直线方程代入双曲线方程，化为关于 $x$ 的一元二次方程。
2. 利用 $\Delta >0$ 且二次项系数不为 0，求出 $a$ 的取值范围。
3. 根据双曲线离心率公式 $e=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$，求出 $e$ 的范围。
4. 利用 $\overrightarrow{PA}=\frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$ 得到 $x_A=\frac{5}{12}{x}_B$。
5. 结合韦达定理 $x_A+x_B=x_A{x}_B$，消去 $x_A,x_B$，解得 $a$。

✅【答案】

Success

(1) $e\in \left(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},+\infty \right)$

(2) $a=\frac{17}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将 $y=1-x$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 中，整理得： $(1-a^2)x^2+2a^{2}x-2a^2=0$ 因直线与双曲线交于两个不同点，故： $\{\begin{array}{l}1-a^2\ne 0\\ \Delta =(2a^2{)}^2-4(1-a^2)(-2a^2)>0\end{array}$ 解得： $4a^4+8a^2-8a^4>0⟹8a^2-4a^4>0$。 因 $a>0$，故 $a^2<2$。 结合 $a\ne 1$，得 $a\in (0,1)\cup (1,\sqrt{2})$。 离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$。 因 $0<a^2<2$ 且 $a^2\ne 1$，则 $\frac{1}{a^2}>\frac{1}{2}$ 且 $\frac{1}{a^2}\ne 1$。 故 $e^2=1+\frac{1}{a^2}>\frac{3}{2}$ 且 $e^2\ne 2$。 所以 $e>\frac{\sqrt{6}}{2}$ 且 $e\ne \sqrt{2}$。 双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2}\right)\cup (\sqrt{2},+\infty )$。

(2) 直线 $l$ 与 $y$ 轴交点为 $P(0,1)$。 设 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。 由 $\overrightarrow{PA}=\frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$ 得： $(x_1,y_1-1)=\frac{5}{12}(x_2,y_2-1)$ 即 $x_1=\frac{5}{12}{x}_2$。 由韦达定理： $x_1+x_2=\frac{-2a^2}{1-a^2}$ $x_1{x}_2=\frac{-2a^2}{1-a^2}$ 可知 $x_1+x_2=x_1{x}_2$。 代入 $x_1=\frac{5}{12}{x}_2$，得： $\frac{17}{12}{x}_2=\frac{5}{12}{x}_2^2$ 因 $A,B$ 相异且不为 $P$， $x_2\ne 0$，解得 $x_2=\frac{17}{5}$，从而 $x_1=\frac{17}{12}$。 代入 $x_1+x_2=\frac{-2a^2}{1-a^2}$ 得： $\frac{17}{12}+\frac{17}{5}=\frac{2a^2}{a^2-1}$ $\frac{289}{60}=\frac{2a^2}{a^2-1}$ 解得 $a^2=\frac{289}{169}$。 因 $a>0$，故 $a=\frac{17}{13}$。 经检验， $a=\frac{17}{13}\in (1,\sqrt{2})$，满足题意。 所以 $a=\frac{17}{13}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：联立方程的二次项系数不为零及判别式大于零；韦达定理的应用；向量共线的坐标运算。
2. 核心方法：设而不求、消元法。
3. 避坑指南：必须注意联立方程后二次项系数 $1-a^2\ne 0$，这会导致参数 $a\ne 1$，从而离心率 $e\ne \sqrt{2}$。忽略此点是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与圆锥曲线的位置关系及离心率，是解析几何的常考综合题。
2. 结论推广: 判断直线与圆锥曲线交点个数用判别式；涉及弦的中点、弦长、定值问题时，联立方程后用韦达定理整体代入，往往比逐一解出交点更简洁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 2021-天津卷-18 解-椭圆综合
• 1956-全国-01 解-五小问综合（对数判别式中线余弦韦达）