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2004-全国卷I理-10 单-正四面体的几何性质

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本题导读

本题考查正四面体的几何性质，以及三角形重心与边长比例关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知正四面体 的表面积为 ，其四个面的中心分别为 .设四面体 的表面积为 ，则 等于 ()

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 第一步逻辑（判定相似特征）：正四面体 各面中心构成的四面体 必然也是一个标准的正四面体，且两多面体空间严格相似。
  2. 第二步逻辑（计算相似比 ）：
    • 设原正四面体 的棱长为 。新正四面体的棱长即为相邻两个面中心（如 的重心 与 的重心 ）之间的距离 。
    • 取共享边 的中点 。连接 和 。则点 分别位于中线 的 处（重心的 比例性质）。
    • 在 中，利用平行截割定理（截线恒等性质）， 且 。由此确定相似比 。
  3. 第三步逻辑（二次方映射求解面积比）：多面体的表面积属于二维度量。根据空间几何量定理，相似多面体的表面积之比严格等于其一维线性相似比的平方，即 。代入平方计算输出最终答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

  • 第一步：确定内部新四面体的拓扑相似性 由于原多面体 是一个正四面体，它的四个面均为全等的正三角形，其空间结构具有完美的转动对称性性质。 当提取各面的中心（重心） 并进行级联连线时，由于任意两面之间的二面角与几何空间构型完全齐次全等，所构成的内部新四面体 必然也是一个标准的正四面体。 因此，内部正四面体 与外部正四面体 满足空间严格相似。

  • 第二步：通过重心几何比例求解相似比 设原正四面体 的侧棱长严格为 。 我们任取两个相邻的面，如 与 ，设它们的重心（中心）分别为 和 。 新正四面体 的棱长即为线段 的物理长度。

    取这两面所共享的公共棱 的中点，记为 。连接 与 。

    • 在正三角形 中， 是边 上的中线，而点 是该三角形的重心。根据平面几何重心性质定理，重心将中线严格切分为 的代数比例：
    • 在正三角形 中，同理 是边 上的中线，点 是该三角形的重心，同样满足比例：

    现在将视线聚焦于由两条中线构成的轴向平面三角形 内部。 由（式1）与（式2）可知，在 中，两侧边满足严格的齐次齐比例分割： 根据平面几何平行截割定理（泰勒斯定理）的逆定理，由（式3）可以直接导出内部心连线与底面棱长之间的平行与线性等比例恒等性质关系： 因为已知原棱长 ，将其代入（式4）中，直接求得新正四面体的棱长为：

    由此确定，新正四面体 与原正四面体 的线性相似比 为：

  • 第三步：利用相似多面体面积比性质求值 根据欧氏立体几何基本定理，两个相似几何体形图形的表面积（二维度量）之比，严格等于其余对偶一维线性度量（相似比 ）的平方： 将（式6）解得的相似比 直接代入平方方程（式7）中：

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：正三角形重心将中线分成 （即距离顶点 ，距离对边中点 ）的代数比例；相似多面体面积比为相似比平方 的二维度规性质。
  2. 核心方法：相似比放缩法、中面转化法。
  3. 避坑指南：
    • 极其容易在处理相似比与面积比的二次方映射时，由于惯性思维漏掉平方，错选为相似比本身 （即错选 D）：这是空间几何选择题中最普遍的粗心失分点。请牢记多维空间度规度量铁律：‘在相似形变换中，一维度量（如棱长、高、周长、对角线）之比严格等于相似比 ；二维度量（如侧面积、底面积、表面积、截面面积）之比严格等于相似比的平方 ；三维度量（如体积）之比严格等于相似比的立方 ’。本题明确问的是‘表面积之比’，在求出相似比 后，强行在草稿纸上写下带平方的算式 ，可完整拦截此类低级干扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材立体几何“多面体与相似形”章节关于正多面体对偶（Duality）性质的经典核心延伸思考大题，是高考考查空间想象素养与多维度量变形基本功最标准的常规中档得分题。
  2. 结论推广: 正四面体各面中心依次相连，仍构成一个正四面体，其相似比为 ，故表面积比为 ，体积比为 。

🔗【关联脉络】

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