2004-全国卷I理-08 单-抛物线

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系，以及一元二次方程的判别式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 设抛物线 $y^2=8x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $Q$，若过点 $Q$ 的直线 $l$ 与抛物线有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是 ()

A. $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$　　B. $[-2,2]$　　C. $[-1,1]$　　D. $[-4,4]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求定点 $Q$ 坐标）：已知抛物线方程为 $y^2=8x$，根据标准方程形式 $y^2=2px$，读出参数 $p$，从而写出准线方程 $x=-\frac{p}{2}$，其与 $x$ 轴的交点即为点 $Q$。
2. 第二步逻辑（联立方程消元）：设过点 $Q$ 的直线斜率为 $k$。当斜率不存在时单独核验。斜率存在时，写出点斜式直线方程 $y=k(x-x_Q)$，代入抛物线方程中消去变量 $x$ 得到关于 $y$ 的一元二次方程。
3. 第三步逻辑（利用判别式求解）：直线与抛物线“有公共点”包含相切与相交两种拓扑状态，对应一元二次方程有实数根，即判别式满足 $\Delta \ge 0$。列出关于 $k$ 的二次不等式求解即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：求解特征定点 $Q$ 的坐标 已知抛物线的标准方程为： $y^2=8x\text{（式1）}$ 对比标准方程通式 $y^2=2px(p>0)$ 可得： $2p=8⟹p=4⟹\frac{p}{2}=2\text{（式2）}$ 根据抛物线几何性质，其开口向右，准线方程为： $x=-\frac{p}{2}=-2\text{（式3）}$ 准线（式3）与 $x$ 轴的交点为点 $Q$，因此点 $Q$ 的坐标严格为： $Q(-2,0)\text{（式4）}$

• 第二步：设置直线方程并进行代数联立 过定点 $Q(-2,0)$ 作直线 $l$．

  • 特殊边界核验：若直线 $l$ 的斜率不存在，则直线方程为 $x=-2$（即准线自身）。 准线与抛物线显然没有任何公共点，故符合题意的直线斜率 $k$ 必然存在。

  设直线 $l$ 的斜率为 $k$，应用点斜式方程： $y-0=k[x-(-2)]⟹y=k(x+2)\text{（式5）}$

  • 情况一：若斜率 $k=0$，直线方程为 $y=0$（即 $x$ 轴）。 将 $y=0$ 代入抛物线方程 $y^2=8x$ 得 $x=0$，交点为原点 $(0,0)$。 此时直线与抛物线有且仅有一个公共点，说明 $k=0$ 是合法解。
  • 情况二：若斜率 $k\ne 0$，由（式5）可反解出 $x$ 的代数式，以便代入消元： $x=\frac{y}{k}-2\text{（式6）}$ 将（式6）的横坐标关系式代入抛物线主方程（式1）中： $y^2=8\cdot \left(\frac{y}{k}-2\right)⟹y^2=\frac{8}{k}y-16\text{（式7）}$ 将（式7）化为关于 $y$ 的一元二次方程标准整式形式： $y^2-\frac{8}{k}y+16=0\text{（式8）}$

• 第三步：运用判别式条件锁定斜率范围 直线 $l$ 与抛物线有公共点，等价于一元二次方程（式8）在实数域内存在实数根。 因此，该方程的判别式 $\Delta$ 必须严格非负： $\Delta =b^2-4ac={\left(-\frac{8}{k}\right)}^2-4\times 1\times 16\ge 0\text{（式9）}$ 对不等式（式9）进行项展开化简： $\frac{64}{k^2}-64\ge 0⟹\frac{64}{k^2}\ge 64\text{（式10）}$ 因为 $k\ne 0⟹k^2>0$，等式两边同时除以 64 并乘上 $k^2$（不等号方向不变）： $1\ge k^2⟹k^2\le 1\text{（式11）}$ 对二次不等式（式11）开方求解，得到 $k$ 的核心取值空间： $-1\le k\le 1\text{（式12）}$

  级联结合情况一中的 $k=0$，最终确定的斜率取值范围闭区间为 $[-1,1]$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线恒等性质位置的确定；直线与抛物线联立消元转化为一元二次方程的基本功；“有公共点”对应 $\Delta \ge 0$ 的代数映射。
2. 核心方法：联立方程法（判别式法）。
3. 避坑指南：
   • 在联立方程消元时，极其容易错误选择消去 $y$ 导致运算量暴增甚至因二次项系数丢失发生漏解：如果将 $y=k(x+2)$ 代入 $y^2=8x$ 展开，会得到 $k^2(x+2{)}^2=8x⟹k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$。此时必须强制讨论 $k^2=0$（即 $k=0$ 二次项丢失）的特殊退化情况，且分项的 $\Delta =(4k^2-8{)}^2-4(k^2)(4k^2)\ge 0$ 展开项繁琐（包含 $k^4$ 项），极易产生计算笔误。请牢记直线与抛物线联立铁律：‘凡是遇到对称轴在 $x$ 轴上的抛物线（$y^2=2px$），联立时无条件优先选择反解出 $x$ 并代入消去 $x$、保留 $y$ 的二次方。这样得到的关于 $y$ 的方程其二次项系数严格为 1，绝对不需要讨论最高次项为 0 的情况，且判别式极为简捷’。通过选择消去 $x$ 的最优路径，可将算力耗损降到最低，确保 100% 正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何“抛物线的简单几何性质与直线与抛物线位置关系”章节的复习核心标准大题，是高考考查锥线交集图形与代数方程判别式控制最标准的常规中档选择题。
2. 结论推广: 抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线与对称轴交于点 $Q\left(-\frac{p}{2},0\right)$。过点 $Q$ 且与抛物线相交（或相切）的直线，其斜率 $k$ 的取值范围恒为 $[-1,1]$，与参数 $p$ 无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积
• 1989-广东理-08 单-抛物线的标准方程