2004-全国卷I理-06 单-集合的包含关系

本题导读

本题考查集合的包含关系，以及集合的交集。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 设 $A、B、I$ 均为非空集合，且满足 $A\subseteq B\subseteq I$，则下列各式中错误的是 ()

A. $({\complement }_{I}A)\cup B=I$ B. $({\complement }_{I}A)\cup ({\complement }_{I}B)=I$ C. $A\cap ({\complement }_{I}B)=\varnothing$ D. $({\complement }_{I}A)\cap ({\complement }_{I}B)={\complement }_{I}B$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（构建拓扑嵌套图形）：已知 $A\subseteq B\subseteq I$．在全集 $I$ 内部，集合 $A$ 被全包裹在集合 $B$ 内部。可画出标准的嵌套圆盘韦恩图，实现数形结合。
2. 第二步逻辑（逐项空间核验）：
   • 对于 A 选项：分析 ${\complement }_{I}A$（ $A$ 的外部）与 $B$（包含 $A$ 的圆盘）的并集，检查是否能完全覆盖全集 $I$．
   • 对于 B 选项：分析 ${\complement }_{I}A$（ $A$ 的外部）与 ${\complement }_{I}B$（ $B$ 的外部）的并集。由于 $B$ 外部包含在 $A$ 外部之中，两者并集即为 $A$ 的外部，无法覆盖集合 $A$ 本身，以此判定真伪。
   • 对于 C 选项：分析 $A$ 内部与 $B$ 外部的交集，根据包含关系直接锁定结论。
   • 对于 D 选项：利用“大集包含小集，则补集小集包含大集”的恒等性质法则，核验交集结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据题目已知条件，全集为 $I$，集合 $A,B$ 的包含拓扑图形严格满足： $A\subseteq B\subseteq I\text{（式1）}$

为了使抽象集合运算直观化，绘制出对应的嵌套韦恩图（Venn Diagram）：

依据该空间图形结构，对 4 个选项进行逐一逻辑审查：

• 核验 A 选项： $\text{左式}=({\complement }_{I}A)\cup B\text{（式2）}$ 由（式1）可知 $A\subseteq B$，则集合 $B$ 内部包含集合 $A$ 及其边界。 而 ${\complement }_{I}A$ 表示全集 $I$ 中除去 $A$ 之后的所有其余区域（包含 $B$ 除去 $A$ 的部分以及 $B$ 的全外部）。 两部分取并集，由于 $B$ 完整填补了 ${\complement }_{I}A$ 中挖去的 $A$ 内部空间，两者的并集严格等于全集 $I$： $({\complement }_{I}A)\cup B=I\text{（式3）}$ 故 A 选项表述完全正确。

• 核验 B 选项： $\text{左式}=({\complement }_{I}A)\cup ({\complement }_{I}B)\text{（式4）}$ 根据补集的单调反转性质，由 $A\subseteq B$ 可严格导出其补集的包含关系发生对偶反转： $\text{由于 }A\subseteq B⟹{\complement }_{I}B\subseteq {\complement }_{I}A\text{（式5）}$ 因为一个小集合与一个大集合取并集，其结果严格等于大集合本身，将（式5）代入（式4）中： $({\complement }_{I}A)\cup ({\complement }_{I}B)={\complement }_{I}A\text{（式6）}$ 因为 $A$ 为非空集合，其补集 ${\complement }_{I}A$ 绝不可能等于全集 $I$（即 ${\complement }_{I}A=I-A\ne I$）： $({\complement }_{I}A)\cup ({\complement }_{I}B)={\complement }_{I}A\ne I\text{（式7）}$ 故 B 选项表述错误。

• 核验 C 选项： $\text{左式}=A\cap ({\complement }_{I}B)\text{（式8）}$ 由（式1） $A\subseteq B$，这意味着集合 $A$ 内部的任意元素都严格属于集合 $B$． 而 ${\complement }_{I}B$ 构成了集合 $B$ 外部的无交点区域，其与 $B$ 内部的任何点均互斥。 因此，属于 $B$ 内部子集的 $A$ 绝不可能与 $B$ 的外部存在任何共同交点，其交集必为空集： $A\cap ({\complement }_{I}B)=\varnothing \text{（式9）}$ 故 C 选项表述完全正确。

• 核验 D 选项： $\text{左式}=({\complement }_{I}A)\cap ({\complement }_{I}B)\text{（式10）}$ 根据（式5）已证的包含反转性质 ${\complement }_{I}B\subseteq {\complement }_{I}A$，可知集合 ${\complement }_{I}B$ 完全被包含在 ${\complement }_{I}A$ 内部。 在集合论中，一个大集合与一个小集合取交集，其结果严格等价于小集合本身： $({\complement }_{I}A)\cap ({\complement }_{I}B)={\complement }_{I}B\text{（式11）}$ (注：亦可直接套用德·摩根定律化简左式： $({\complement }_{I}A)\cap ({\complement }_{I}B)\equiv {\complement }_I(A\cup B)$．因 $A\subseteq B⟹A\cup B=B$，故 ${\complement }_I(A\cup B)={\complement }_{I}B$。) 故 D 选项表述完全正确。

题目要求选择错误的一项。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：包含关系下补集尺寸的对偶反转规律（$A\subseteq B⟺\complement B\subseteq \complement A$）；两集合并交集在包含关系下的化简法则。
2. 核心方法：韦恩图数形结合法、德·摩根定律代数法。
3. 避坑指南：
   • 本题在考场上最快的破题手段是‘特殊集合代入法（特殊值法）’： 直接令全集 $I=\{1,2,3\}$。根据包含约束 $A\subseteq B\subseteq I$，构造特殊子集： $A=\{1\},B=\{1,2\}\text{（式12）}$ 根据定义，顺次写出两者的补集元素： ${\complement }_{I}A=\{2,3\},{\complement }_{I}B=\{3\}\text{（式13）}$ 将（式13）代入 B 选项的左式进行加和： $({\complement }_{I}A)\cup ({\complement }_{I}B)=\{2,3\}\cup \{3\}=\{2,3\}\ne I=\{1,2,3\}$ 算术直接戳破 B 选项的错误，实现零草稿耗时、 100% 正确率秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材第一册“集合的基本运算”章节课后常规标准综合训练题，是高考考查朴素集合论（Naive Set Theory）符号逻辑与映射关系最标准的低档送分选择题。
2. 结论推广: 一般地，若 $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots \subseteq A_n\subseteq I$，则 ${\complement }_I{A}_1\supseteq {\complement }_I{A}_2\supseteq \cdots \supseteq {\complement }_I{A}_n$，且 ${\bigcup }_{i=1}^n({\complement }_I{A}_i)={\complement }_I\left({\bigcap }_{i=1}^n{A}_i\right)={\complement }_I{A}_1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1985-广东文-18 单-集合的补集运算
• 1985-广东理-15 单-集合的补集运算