2004-全国卷I理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） ${\left(2x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^7$ 的展开式中常数项是 ()

A. $14$　　　　　　B. $-14$　　　　　　C. $42$　　　　　　D. $-42$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（写出通项）：根据二项式定理的通项公式，写出第 $r+1$ 项 $T_{r+1}$。注意把减号看作第二项的负号。
2. 第二步（分离指数与系数）：将根式与分数统一化为负指数与分数指数幂形式（如 $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$），把常数系数合并，$x$ 的指数合并。
3. 第三步（令指数为 0）：根据常数项定义，$x$ 的指数必须为 0。列出方程解出 $r$，并代回系数算出常数项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

先把二项式内部的第二项化为负分数指数幂： $-\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{x^{1/2}}=-x^{-1/2}\text{（式1）}$ 原代数式变形为： ${\left(2x^3-x^{-1/2}\right)}^7$．其中 $n=7$。

套用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$： $T_{r+1}=C_7^r\cdot (2x^3{)}^{7-r}\cdot {\left(-x^{-1/2}\right)}^r\text{（式2）}$

对（式2）中的常数系数与 $x$ 的指数进行分离、合并： $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot (x^3{)}^{7-r}\cdot (-1{)}^r\cdot {\left(x^{-1/2}\right)}^r\text{（式3）}$ $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3(7-r)}\cdot x^{-\frac{r}{2}}\text{（式4）}$ $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{21-3r-\frac{r}{2}}\text{（式5）}$ 对（式5）中 $x$ 的指数进行通分化简，得到通项式： $T_{r+1}=C_7^r\cdot 2^{7-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{21-\frac{7r}{2}}\text{（式6）}$

展开式中的“常数项”即 $x$ 的幂次为 $0$ 的项。 令（式6）中的指数为 0： $21-\frac{7r}{2}=0\text{（式7）}$ 解得： $\frac{7r}{2}=21⟹7r=42⟹r=6\text{（式8）}$ 由于 $r=6$ 在 $[0,7]$ 内，该项存在（即展开式的第 7 项为常数项）。

将 $r=6$ 代回通项式（式6）的系数中： $\text{常数项}=C_7^6\cdot 2^{7-6}\cdot (-1{)}^6\text{（式9）}$ 根据组合数性质 $C_7^6=C_7^1=7$，以及 $(-1{)}^6=1$，得： $\text{常数项}=7\times 2^1\times 1=7\times 2=14$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式的系数与指数分离；负分数指数幂的运算；常数项的指数为 0。
2. 核心方法：系数与指数分离法。
3. 避坑指南：
   • 容易漏掉第二项负号中的 $(-1{)}^r$ 因子而错选 B：写通项时应写成 $C_7^r(2x^3{)}^{7-r}(-x^{-1/2}{)}^r$，即把负号作为 $-1$ 归入第二项。本题 $r=6$ 为偶数，$(-1{)}^6=1$ 不影响结果；若换作奇数次幂（如 $r=5$），漏掉负号就会算错。写通项时多写一步 $(-1{)}^r$，可避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查二项展开式通项公式的应用，是高考的常规中档题。
2. 结论推广: 一般地，对于 $(\alpha x^p+\beta x^{-q}{)}^n$（$\alpha \ne 0,\beta \ne 0,p>0,q>0$），其通项为 $T_{r+1}=C_n^r{\alpha }^{n-r}{\beta }^r{x}^{p(n-r)-qr}$。令 $p(n-r)-qr=0$，得 $r=\frac{np}{p+q}$。当 $r$ 为整数且 $0\le r\le n$ 时，常数项为 $\text{常数项}=C_n^{\frac{np}{p+q}}\cdot {\alpha }^{\frac{nq}{p+q}}\cdot {\beta }^{\frac{np}{p+q}}$ 本题中 $\alpha =2,\beta =-1,p=3,q=\frac{1}{2},n=7$，得 $r=6$，常数项为 $14$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项
• 2015-上海卷理-11 填-二项式定理