2004-全国卷I理-02 单-函数的奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 已知函数 $f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$，若 $f(a)=b$，则 $f(-a)=$ ()

A. $b$　　　　　　　B. $-b$　　　　　　　C. $\frac{1}{b}$　　　　　　　D. $-\frac{1}{b}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：通过代数定义式计算 $f(-x)$ 的表达式，将自变量 $-x$ 带入真数分式中。
2. 第二步逻辑：利用对数函数的倒数恒等性质性质 $\lg \left(\frac{1}{A}\right)=-\lg A$，将 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 建立关联，判定函数的奇偶性性质。
3. 第三步逻辑：根据判定出的奇偶性结论，由已知条件 $f(a)=b$ 直接映射输出 $f(-a)$ 的代数解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

首先确定函数 $f(x)=\lg \frac{1-x}{1+x}$ 的定义域。 令真数严格大于 0： $\frac{1-x}{1+x}>0⟹(1-x)(1+x)>0⟹-1<x<1\text{（式1）}$ 定义域为 $(-1,1)$，关于原点严格对称。

将自变量 $x$ 替换为其相反数 $-x$ 代入原函数解析式中： $f(-x)=\lg \frac{1-(-x)}{1+(-x)}=\lg \frac{1+x}{1-x}\text{（式2）}$ 观察可见，（式2）中的真数部分与原函数真数部分互为倒数关系，即： $\frac{1+x}{1-x}={\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{-1}\text{（式3）}$

将（式3）的幂次形式代回对数图形（式2）中，根据对数的幂次分配律性质（将指数 $-1$ 提取至对数符号前方）： $f(-x)=\lg {\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{-1}=-\lg \frac{1-x}{1+x}\text{（式4）}$ 结合原函数定义，（式4）等价退化为： $f(-x)=-f(x)\text{（式5）}$ 根据函数奇偶性的代数定义，满足（式5）的连续函数严格为奇函数。

因为题目已知条件给定： $f(a)=b\text{（式6）}$ 根据已证的奇函数对称性质（式5），将 $x=a$ 代入方程中： $f(-a)=-f(a)\text{（式7）}$ 将（式6）的代数元代入（式7）中，直接输出最终解： $f(-a)=-b$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算法则 $\lg \left(\frac{A}{B}\right)=-\lg \left(\frac{B}{A}\right)$ 的熟练应用；利用 $f(-x)=-f(x)$ 锁定奇函数图形。
2. 核心方法：奇偶性恒等性质分析法。
3. 避坑指南：
   • 对于公式不熟练的同学，本题强烈推荐‘特值秒杀法’： 直接令 $a=\frac{1}{3}$，代入原函数算得： $b=f\left(\frac{1}{3}\right)=\lg \frac{1-1/3}{1+1/3}=\lg \frac{2/3}{4/3}=\lg \frac{1}{2}=-\lg 2\text{（式8）}$ 题目要求计算 $f(-a)$ 即为 $f\left(-\frac{1}{3}\right)$： $f\left(-\frac{1}{3}\right)=\lg \frac{1-(-1/3)}{1+(-1/3)}=\lg \frac{4/3}{2/3}=\lg 2\text{（式9）}$ 对比（式8）与（式9）的精确标量值可见， $\lg 2=-(-\lg 2)=-b$。通过一组简单的特值有理化，可以完全避开抽象符号推导，在考场上快速获得高正确率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“对数函数性质与基本初等函数奇偶性”章节的开篇基础经典例题，是高考考查函数对称性基本功最标准的送分低档题。
2. 结论推广: 一般地，设标准对数复合图形为 $f(x)={\log }_{\alpha }\frac{\beta -x}{\beta +x}(\alpha >0,\alpha \ne 1,\beta >0)$。根据运算谱分析的对称性原理，由于真数分式项在反转映射 $x\to -x$ 下完整生成倒数，该图形在对称定义域 $(-\beta ,\beta )$ 内恒严格满足宇称守恒，即不论底数 $\alpha$ 与有界运算 $\beta$ 取何值，该形式函数永恒为严格的奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1987-上海-12 填-指数式的对数运算
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性